【題目】綜合題。
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H分別在BC,AB上,AE與DH交于O,若AE=DH,求證:AE⊥DH;

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)H,E,G,F(xiàn)分別在AB,BC,CD,DA上,EF與GH交于O,若EF=HG,探究線段EF與HG的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)如圖3所示,在(2)問條件下,若HF∥GE,試探究線段FH、線段EG與線段EF的數(shù)量關(guān)系,并說明.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.

∴∠HAO+∠OAD=90°.

∵AE⊥DH,

∴∠ADO+∠OAD=90°.

∴∠HAO=∠ADO,

在△ABE和△DAH中 ,

∴△ABE≌△DAH(ASA),

∴AE=DH


(2)

解:EF⊥GH.

理由:如圖2,將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF.

將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.

∵EF=GH,

∴AM=DN,

在Rt△ABM和Rt△DAN中, ,

∴Rt△ABM≌Rt△DAN,

∴∠BAM=∠ADN,

∵∠DAM+∠BAM=90°,

∴∠DAM+∠ADN=90°,

∴AM⊥DN,

∴EF⊥HG


(3)

解:EG+FH= EF.理由:如圖3,

過點(diǎn)H作HP∥FE交GE的延長線于P,

∵FH∥EG,

∴四邊形EFHP是平行四邊形,

∴FH=PE,HP=EF,

由(2)知,EF=HG,

∴HP=HG,

∵HP∥FE,EF⊥HG,

∴HP⊥HG,

在Rt△PHG中,根據(jù)勾股定理得,PG= HG= EF,

∵PG=EG+PE=EG+FH,

∴EG+FH= EF


【解析】(1)由正方形的性質(zhì)得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH;(2)將FE平移到AM處,則AM∥EF,AM=EF,將GH平移到DN處,則DN∥GH,DN=GH.再判斷出Rt△ABM≌Rt△DAN,最后代換即可得出結(jié)論;(3)先構(gòu)造出平行四邊形EFHP,得出FH=PE,HP=EF,再用勾股定理即可得出結(jié)論.

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(2)∠AEB的度數(shù)為;CE,AE,BE的數(shù)量關(guān)系為
(3)如圖2,△ACB是等腰直角三角形,∠AEB=90°,連接CE,過點(diǎn)C作CD⊥CE,交BE于點(diǎn)D,試探究CE,AE,BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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一般地,數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離公式為|m-n|.

(1)數(shù)軸上表示數(shù)-5的點(diǎn)與表示-2的點(diǎn)之間的距離為______;

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進(jìn)價(jià)(元/件)

20

30

售價(jià)(元/件)

29

40

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