Question

（2013•上海模擬）數(shù)學(xué)課上，張老師出示圖1和下面框中條件：

請(qǐng)你和艾思軻同學(xué)一起嘗試探究下列問(wèn)題：
（1）①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖2所示，可得

AM

DM

的值為

1

；
②在平移過(guò)程中，

AM

DM

的值為

x

2

（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）艾思軻同學(xué)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變．
當(dāng)點(diǎn)A落在線(xiàn)段DF上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)你幫他補(bǔ)全圖形，并計(jì)算

AM

DM

的值；
（3）艾思軻同學(xué)又將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m度，0＜m≤90，原題中的其他條件保持不變．請(qǐng)你計(jì)算

AM

DM

的值（用含x的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)等腰之間三角形的性質(zhì)可以得出∠DFA=90°，由旋轉(zhuǎn)可以得出∠DEM=∠BEM=45°，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出EM垂直于DC平分DC，就可以得出EM∥AC，由相似三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；
②根據(jù)條件可以得出∠MEF=∠ACF，就有EM∥AC，根據(jù)△GCF∽△HEF由其性質(zhì)就可以表示出CG，由∠MEF=∠GFE=45°，就有CG=GF，表示出GF，就可以得出DG，求DH，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理就可以得出結(jié)論；
（2）連結(jié)AE，補(bǔ)全圖形如圖3所示．由條件可以得出AC=

2

，DF=2

2

，由條件得出△MAE∽△BFE就可以求出AM的值，進(jìn)而可以求出DM的值，從而求出結(jié)論；
（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線(xiàn)交直線(xiàn)EM于點(diǎn)G，連結(jié)AG．根據(jù)條件可以得出△ABG≌△CBE，由其性質(zhì)可以得出∠AGM=∠DEM，就有AG∥DE，就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）①如圖2∵△DEF和△ABC是等腰直角三角形，
∴DE=FE，AB=BC，∠EDF=∠DFE=∠ACB=∠BAC=45°．∠DEF=∠ABC=90°．
∵∠BEM=45°，
∴∠BEM=∠ACB，∠DEM=45°
∴EM∥AC，∠DEM=∠FEM，
∴

PF

PD

=

AM

DM

．
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DP=FP，
∴

FP

DP

=1，
∴

AM

DM

=1．
②如圖1，在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DF=2

2

，
∵∠DEM=∠FEM，DE=FE，
∴DH=FH=EH=

2

．
∵CE=x，
∴FC=2-x．
∵CG∥EM，
∴

CF

EF

=

CG

EH

，

HG

HD

=

AM

DM

．
∴

2-x

2

=

CG

2

，
∴CG=

2

-

2

2

x．
∵∠ACB=∠DFE，
∴CG=FG，
∴FG═

2

-

2

2

x．
∴HG=

2

-（

2

-

2

2

x）=

2

2

x，
∴

HG

DH

=

2 2 x

2

=

x

2

，
∴

AM

DM

=

x

2

．


（2）連結(jié)AE，補(bǔ)全圖形如圖3所示．
∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠DEF=90°，AB=1，DE=2，
∴BC=1，EF=2，∠DFE=∠ACB=45°．
∴AC=

2

，DF=2

2

，∠EFB=90°．
∴AD=DF-AC=

2

，
∴點(diǎn)A為DF的中點(diǎn)．
∴EA⊥DF，EA平分∠DEF．
∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=

2

．
∵∠MEB=∠AEF=45°，
∴∠MEA=∠BEF．
∴△MAE∽△BFE．
∴

AM

BF

=

AE

EF

，
∴AM=

2

2

．
∴DM=AD-AM=

2

-

2

2

=

2

2

，
∴

AM

DM

=1．


（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線(xiàn)交直線(xiàn)EM于點(diǎn)G，連結(jié)AG．
∵∠EBG=90°，∠BEM=45°，
∴∠BGE=45°．
∴BE=BG．
∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABG=∠CBE．
∵BA=BC，∴△ABG≌△CBE．
∴AG=CE=x，∠AGB=∠CEB．
∵∠AGB+∠AGM=∠CEB+∠DEM=45°，
∴∠AGM=∠DEM，
∴AG∥DE．
∴

AM

DM

=

AG

DE

=

x

2

．
故答案為：1；

x

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)證明三角形相似和全等是解答本題的關(guān)鍵．