Question

【題目】（8分）【問題情境】

如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．

【探究展示】（1）證明：AM=AD+MC；

【拓展延伸】（2）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）中的結論是否成立？請作出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）仍然成立．

【解析】整體分析：

（1）延長AE、BC交于點N，由△ADE≌△NCE，證AD=NC，由角平分線，平行線得MA=MN；（2）與（1）的方法類似.

（1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ENC．∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．

∴△ADE≌△NCE（AAS）

∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）①結論AM=AD+MC仍然成立．

證明：延長AE、BC交于點P，如圖2，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP．

∴△ADE≌△PCE（AAS）．

∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．