Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14．點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．

（1）如圖1，若AD＝BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O，請直接寫出BD與DO的數(shù)量關(guān)系．

（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．

①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．

②如圖3，若DG∥BC，EC＝2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝2OD，見解析；（2）①DG＝；②.

【解析】

（1）如圖1中，首先證明CD=BD=AD，再證明四邊形ADFC是平行四邊形即可解決問題；
（2）①作DT⊥BC于點(diǎn)T，FH⊥BC于H．證明DG是△ABF的中位線，想辦法求出BF即可解決問題；
（3）如圖3，取AB中點(diǎn)O，連接OG，OC，BF，GE，通過證明△DGE∽△FBD，可得∠DGE=∠DBF=90°，，由等腰三角形的性質(zhì)可得GE=EC=2，可求DB的值，即可求解．

解：（1）如圖1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，

∵CD＝CF，

∴AD＝CF，

∵∠ADC＝∠DCF＝90°，

∴AD∥CF，

∴四邊形ADFC是平行四邊形，

∴OD＝OC，

∵BD＝2OD．

（2）①解：如圖2中，作DT⊥BC于點(diǎn)T，FH⊥BC于H．

由題意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，

∵DT⊥BC，

∴BT＝TC＝7，

∵EC＝2，

∴TE＝5，

∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，

∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，

∴∠TDE＝∠FEH，

∵ED＝EF，

∴△DTE≌△EHF（AAS），

∴FH＝ET＝5，

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴B，D，E，F四點(diǎn)共圓，

∴∠DBF+∠DEF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∵∠DBE＝45°，

∴∠FBH＝45°，

∵∠BHF＝90°，

∴∠HBF＝∠HFB＝45°，

∴BH＝FH＝5，

∴BF＝5，

∵∠ADC＝∠ABF＝90°，

∴DG∥BF，

∵AD＝DB，

∴AG＝GF，

∴DG＝BF＝；

②如圖3，取AB中點(diǎn)O，連接OG，OC，BF，GE，

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，

∴點(diǎn)D，點(diǎn)B，點(diǎn)F，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，

∴∠DEF+∠DBF＝180°，∠DEB＝∠DFB，

∴∠DBF＝90°，

∵點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，點(diǎn)G是AF中點(diǎn)，

∴OG∥BF，BF＝2OG，

∴∠AOG＝90°，且AO＝BO，

∴點(diǎn)G是AB垂直平分線上一點(diǎn)，

∵AC＝BC，

∴點(diǎn)C是AB垂直平分線上一點(diǎn)，

∴點(diǎn)O，點(diǎn)G，點(diǎn)C共線，

∴∠ACO＝∠BCO＝45°，

∵DG∥BC，

∴∠ODG＝∠OBC＝45°，∠OCB＝∠OGD＝45°，∠GDE＝∠BED，

∴∠OGD＝∠ODG＝45°，∠GDE＝∠BFD，

∴OD＝OG，

∴DG＝OG，

∴，，

∴，且∠GDE＝∠BFD，

∴△DGE∽△FBD，

∴∠DGE＝∠DBF＝90°，，

∵DG∥BC，

∴∠DGE＝∠GEC＝90°，且∠OCB＝45°，

∴∠EGC＝∠GCE＝45°，

∴GE＝EC＝2，

∴BD＝2，

∴AD＝AB﹣BD＝12，

∴.