Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)E為正方形ABCD對(duì)角線CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥CB交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且EF＝4，AC＝

（1）如圖1，連接BE，求線段BE的長(zhǎng)；

（2）將等腰Rt△CEF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連接AE，M點(diǎn)為AE的中點(diǎn)，連接MD、MF，求MD與MF的關(guān)系；

（3）將△CEF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M在這個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）DM＝MF，DM⊥MF．（3）4π．

【解析】

（1）連接BE，再求出BF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理進(jìn)行解答即可；

（2）延長(zhǎng)FM到P，使得MP=MF，連接PD、PF、PA，延長(zhǎng)PA交CF于K.證明△PDF是等腰直角三角形即可完成解答；

（3）接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接OM，由中位線定理可得OM=2，推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓即可完成解答.

解：（1）如圖1中，連接BE．

∵S四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∵AC＝，

∴AB＝BC＝1，

∵EF⊥CF，

∴∠F＝90°，

∴∠FCA＝∠FAC＝45°，

∴EF＝FC＝4，

∴FB＝3，

∴BE＝＝＝5．

（2）結(jié)論：MD＝MF，MD⊥MF．

理由：延長(zhǎng)FM到P，使得MP＝MF，連接PD，PF，PA，延長(zhǎng)PA交CF于K．

∵EM＝MA，MF＝MP，∠EMF＝∠AMP，

∴△EMF≌△AMP（SAS），

∴PA＝EF＝CF，∠EFM＝∠APM，

∴PK∥EF，

∵EF⊥CF，

∴PK⊥CF，

∴∠AKC＝∠ADC＝90°，

∴∠DAK+∠DCK＝180°，

∵∠DAK+∠PAD＝180°，

∴∠PAD＝∠DCF，

∵CD＝DC，

∴△PAD≌△FCD（SAS），

∴DP＝DF，∠PDA＝∠FDC，

∴∠PDF＝∠ADC＝90°，

∵PM＝MF，

∴DM＝MF＝PM，DM⊥FM．

∴DM＝MF，DM⊥MF．

（3）連接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接OM．

∵AM＝ME，AO＝OC，

∴OM＝EC，

∵EC＝4，

∴OM＝2＝定長(zhǎng)，

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓，

當(dāng)△CEF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，M的軌跡為整個(gè)圓，

因此路徑長(zhǎng)為4π，

故答案為4π．