Question

18．如圖1，矩形OABC的兩邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，B（8，6），過點(diǎn)O、A的拋物線L，頂點(diǎn)在第一象限且到x軸的距離為8，交BC于點(diǎn)D和點(diǎn)E，F(xiàn)（m，0）為x軸上任意一點(diǎn)．
（1）求拋物線L的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段OA上時，將四邊形OCDF沿直線DF翻折，當(dāng)點(diǎn)C或O的對應(yīng)點(diǎn)落在矩形OABC一邊上時，求m的值；
（3）連接OE，作O、C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF的對稱點(diǎn)M，N，連接MN，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上運(yùn)動時，是否存在線段MN平行于△OCE一邊的時刻？若存在，直接寫出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線的頂點(diǎn)為（4，8），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+8，把（0，0）代入拋物線的解析式，即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①如圖1中，①當(dāng)點(diǎn)C′在線段BC上時，易知四邊形CDFO是矩形．②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O′在AB上時，連接OD、DO′．分別求解即可．
（3）分五種情形討論①如圖3中，當(dāng)MN∥OD時，易知四邊形CDFO是矩形．②如圖4中，當(dāng)MN∥CE時，易知四邊形MNDB是矩形．③如圖5中，當(dāng)MN∥OE時，延長CB交FM于Q，作DH⊥FM于H，QK⊥OF于K，連接OD．分別求解即可．④如圖6中，當(dāng)MN∥OE時，延長DM交OE于G，作KH⊥OE于H，則四邊形KHGM是矩形．⑤如圖7中，當(dāng)MN∥CE時，易知點(diǎn)F（-4，0）．

解答 解：（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)為（4，8），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+8，
把（0，0）代入拋物線的解析式得到，0=16a+8，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+4x．

（2）①如圖1中，①當(dāng)點(diǎn)C′在線段BC上時，易知四邊形CDFO是矩形．

∵C（0，6），
∴D（2，6），
∴FO=CD=2，
∴m=2．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O′在AB上時，連接OD、DO′．

∵CD=2，BD=6，CO=6，
∴OD=DO′=$\sqrt{C{O}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴BO′=$\sqrt{DO{′}^{2}-D{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{6}^{2}}$=2，
∴O′A=4，
在Rt△AFO′中，∵FO′²=AF²+AO′²，
∴m²=4²+（8-m）²，
∴m=5．
綜上所述，m=2或5時，點(diǎn)C或O的對應(yīng)點(diǎn)落在矩形OABC一邊上．

（3）①如圖3中，當(dāng)MN∥OD時，易知四邊形CDFO是矩形，此時F（2，0）．

②如圖4中，當(dāng)MN∥CE時，

∵M(jìn)N=BD=6，易知四邊形MNDB是矩形，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，
∴F（8，0），
③如圖5中，當(dāng)MN∥OE時，延長CB交FM于Q，作DH⊥FM于H，QK⊥OF于K，連接OD．

∵M(jìn)N∥DH，MN∥OE，
∴DH∥OE，
∴∠HDQ=∠OEC，
∵∠OCE=∠HDQ=90°，
∴△DHQ∽△ECO，
∴$\frac{DH}{DQ}$=$\frac{CE}{EO}$，
∴$\frac{6}{DQ}$=$\frac{6}{6\sqrt{2}}$，
∴$DQ=6\sqrt{2}$，
∵CQ∥OF，
∴∠QDF=∠DFO=∠QFD，
∴QF=QD=6$\sqrt{2}$，
∴KQ=KF=6，CQ=OK=2+6$\sqrt{2}$，
∴OF=2+6$\sqrt{2}$+6=8+6$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)（8+6$\sqrt{2}$，0）．
④如圖6中，當(dāng)MN∥OE時，延長DM交OE于G，作KH⊥OE于H，則四邊形KHGM是矩形．

∴MG=KH=2$\sqrt{2}$-2，
在等腰直角三角形△OHK中，OK=$\sqrt{2}$KH=4-2$\sqrt{2}$，
∵OF∥CD，
∴OF：CD=OK：CK，
∴OF=$\frac{2×（4-2\sqrt{2}）}{6-（4-2\sqrt{2}）}$=6$\sqrt{2}$-8，
∴F（8-6$\sqrt{2}$，0）．
⑤如圖7中，當(dāng)MN∥CE時，易知點(diǎn)F（-4，0）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F坐標(biāo)（2，0）或（8，0）或（8+6$\sqrt{2}$，0）或（8-6$\sqrt{2}$，0）或（-4，0）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．