Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)動點N（－2，n），求使MN＋BN的值最小時n的值；

（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似，（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）令y=0可求得點A、點B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點C的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短作M點關(guān)于直線x=-2的對稱點M′，當(dāng)N（-2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最�。�
（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度，然后可求得點P的坐標(biāo)．

（1）令y=0得x1=-2，x2=4，
∴點A（-2，0）、B（4，0）
令x=0得y=-，
∴點C（0，-）
（2）將x=1代入拋物線的解析式得y=-
∴點M的坐標(biāo)為（1，-）
∴點M關(guān)于直線x=-2的對稱點M′的坐標(biāo)為（-5，）
設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b
將點M′、B的坐標(biāo)代入得：
解得： ，
所以直線M′B的解析式為y=．
將x=-2代入得：y=- ，
所以n=-．
（3）過點D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：
AD= ，
如下圖，①當(dāng)P1AB∽△ADB時，

∴P1B=6
過點P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．
∴
解得：P1M1=6，
∵
解得：BM1=12
∴點P1的坐標(biāo)為（-8，6）或（12、6）．
∵點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；
②當(dāng)△P2AB∽△BDA時，
∴P2B=6過點P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．
∴
∴P2M2=2
∵
∴M2B=8
∴點P2的坐標(biāo)為（-4，2）
將x=-4代入拋物線的解析式得：y=2，
∴點P2在拋物線上．
由拋物線的對稱性可知：點P2與點P4關(guān)于直線x=1對稱，
∴P4的坐標(biāo)為（6，2），
當(dāng)點P3位于點C處時，兩三角形全等，所以點P3的坐標(biāo)為（0，-），
綜上所述點P的坐標(biāo)為：（-4，2）或（6，2）或（0，-）時，以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．