Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．求證：AE=CG．

Answer 1

證明見(jiàn)解析.

試題分析：根據(jù)題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，且CD為斜邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，且CD為角平分線，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC與三角形CGB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．
∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG．