Question

拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）過點A（1，﹣1），B（5，﹣1），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作▱CBPQ，若點P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標平面內的一點，且▱CBPQ的面積為30，求點P的坐標；

（3）如圖2，⊙O₁過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為 上的一動點（不與點A，E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值．

 

Answer 1

解答：

解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式得：， 解得：． ∴拋物線得解析式為y=x2﹣6x+4． （2）如圖所示： 設點P的坐標為P（m，m2﹣6m+4） ∵平行四邊形的面積為30， ∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD． ∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15． 化簡得：m2﹣5m﹣6=0， 解得：m=6，或m=﹣1． ∵m＞0 ∴點P的坐標為（6，4）． （3）連接AB、EB． ∵AE是圓的直徑， ∴∠ABE=90°． ∴∠ABE=∠MBN． 又∵∠EAB=∠EMB， ∴△EAB∽△NMB． ∵A（1，﹣1），B（5，﹣1）， ∴點O1的橫坐標為3， 將x=0代入拋物線的解析式得：y=4， ∴點C的坐標為（0，4）． 設點O1的坐標為（3，m）， ∵O1C=O1A， ∴， 解得：m=2， ∴點O1的坐標為（3，2）， ∴O1A=， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE===6， ∴點E的坐標為（5，5）． ∴AB=4，BE=6． ∵△EAB∽△NMB， ∴． ∴． ∴NB=． ∴當MB為直徑時，MB最大，此時NB最大． ∴MB=AE=2， ∴NB==3．