Question

已知關于x的一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數值，且關于x的方程x²-4x+k=0與x²-mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不等的實數根，得出16-4k＞0，即可求出k的取值范圍；
（2）先求出k的值，再代入方程x²-4x+k=0，求出x的值，再把x的值代入x²-mx-1=0，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-4x+k=0有兩個不等的實數根，
∴△=b²-4ac=16-4k＞0，
解得：k＜4；
∴k的取值范圍是k＜4；

（2）當k＜4時的最大整數值是3，
則關于x的方程x²-4x+k=0是x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∵關于x的方程x²-4x+k=0與x²-mx-1=0有一個相同的根，
∴當x₁=1時，1²-m-1=0，
解得：m=0，
當x₂=3時，3²-3m-1=0，
解得：m=

8

3

．
答：m的值是0或

8

3

．

點評：此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是根據方程有兩個不等的實數根，求出k的值；一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．