Question

【題目】已知如圖1，在中，， ，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，分別延長到點(diǎn)，使得，連接．

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）如圖2，連接，若平分．

①求的長；

②如圖3，連接，分別交于點(diǎn)．求證：是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①5；②證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)一組對邊平行且相等可得：四邊形DBFG是平行四邊形，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得結(jié)論；

（2）①如圖2，過C作CH⊥DG于H，證明△ADE≌△CHE，得CH=AD，EH=DE，設(shè)CF=x，則BF=2+x，GH=CF=x，EG=x+1，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得：EG=CG=x+1，結(jié)合勾股定理列方解方程可得結(jié)論；

②證明△DEM∽△FCM，得根據(jù)勾股定理計算AC、DF、CG的長，再結(jié)合可得MN=CM，得△MCN是等腰三角形．

證明：(1)如圖1，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

∴四邊形是平行四邊形，

∴是矩形；

(2)①如圖2，過作于，

，

，，

設(shè)，則，

∵平分，

中，由勾股定理得：，

②如圖：　，

，

由勾股定理得：，

，

，

是的中點(diǎn)，

，

，

同理得：，

，

，

，

，

，

是等腰三角形．