Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝30°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝30°，DE交線段AC于點E.

（1）D點運動到圖1位置時，∠BDA＝75°，則∠EDC＝______，∠DEC＝________；

（2）D點運動到圖2位置時，當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；

（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在變化，判斷當△ADE是等腰三角形時，∠BDA等于多少度（請直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

【答案】（1）75°，75°；（2）DC=3，理由見解析；（3）當△ADE是等腰三角形時，∠BDA度數(shù)為105°或60°.

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和與三角形外角等于與其不相鄰兩內(nèi)角的和的關(guān)系進行求解即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及判定定理綜合運用求解即可；

（3）根據(jù)△ADE是等腰三角形，分①當AD=AE，②DA=DE，③EA=ED三種情況進行討論即可.

（1）∵∠BDA=75°，

∴∠ADC=105°，

又∵∠ADE=30°，

∴∠EDC=75°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠DEC=75°，

所以答案為75°，75°；

（2）當DC=3時，△ABD≌△DCE，

∵AB=AC=3，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3，

∴∠CAD=∠CDA=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=45°，

∴∠DEC=105°，

∴∠ADB=∠DEC,

在△ABD與△DCE中，

∵∠ADB=∠DEC，AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABD≌△DCE；

（3）①當AD=AE時，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=120°，

∵∠BAC=120°，D不與B、C重合，

∴AD≠AE；

②當DA=DE時，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③當EA=ED時，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=60°.

綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，∠BDA度數(shù)為105°或60°.