Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD中CD邊上任意一點(diǎn)，AB＝4，以點(diǎn)A為中心，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AD′F

（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，求證：點(diǎn)C、B、F三點(diǎn)共線；

（2）AG平分∠EAF交BC于點(diǎn)G．

①如圖2，連接EF．若BG：CE＝5：6，求△AEF的面積；

②如圖3，若BM、DN分別為正方形的兩個(gè)外角角平分線，交AG、AE的延長線于點(diǎn)M、N．當(dāng)MM∥DC時(shí)，直接寫出DN的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）① ②.

【解析】

（1）旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖1中所示，利用旋轉(zhuǎn)不變性即可解決問題；

（2）①如圖2中，連接EG．首先證明EG=BG+DE，設(shè)BG=5k，CE=6k，則DE=4-6k，CG=4-5k，EG=4-k，在Rt△EGC中，根據(jù)EG2=EC2+CG2即可解決問題；

②如圖3中，連接EG，延長MN交AD的延長線于點(diǎn)P，作MQ⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)Q．由題意可知：△PDN，△BMQ都是等腰直角三角形，設(shè)DP=PN=x，BG=a，DE=b．想辦法構(gòu)建方程組即可解決問題.

（1）證明：旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖1中所示，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，

∵∴點(diǎn)D′與點(diǎn)B重合，

∵∠AD′F＝90°，

∴∠AD′F+′AD′C＝180°，

∴C，B，F共線．

（2）①解：如圖2中，連接EG．

∵∠BAF＝∠DAE，

∴∠EAF＝∠DAB＝90°，

∵AG平分∠EAF，

∴∠EAG＝×90°＝45°，

∴∠FAG＝∠FAB+∠BAG＝∠BAG+∠DAE＝45°，

∴∠FAG＝∠EAG，

∵AG＝AG，AF＝AE，

∴△GAE≌△GAF（SAS），

∴FG＝EG，

∴EG＝BF+BG＝DE+BG，

∵BG：CE＝5：6，

∴可以假設(shè)BG＝5k，CE＝6k，則DE＝4﹣6k，CG＝4﹣5k，EG＝4﹣k，

在Rt△EGC中，∵EG2＝EC2+CG2，

∴（4﹣k）2＝（6k）2+（4﹣5k）2，

∴k＝，

∴DE＝，

∴AE=AF=，

∴S△AEF=AEAF=．

②解：如圖3中，連接EG，延長MN交AD的延長線于點(diǎn)P，作MQ⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)Q．

由題意可知：△PDN，△BMQ都是等腰直角三角形，設(shè)DP＝PN＝x，BG＝a，DE＝b．

∵四邊形AQMP是矩形，

∴MQ＝BQ＝AP＝4+x，

∵DE∥PN，

∴，即①，

∵BG∥MQ，

∴，即②

在Rt△BCG中，∵EG2=EC2+CG2，

∴（a+b）2=（4-a）2+（4-b）2 ③，

由①②③可得x=2或-2（舍棄）

∴DN=x=2．