【題目】已知AB是半徑為1的圓O直徑,C是圓上一點,D是BC延長線上一點,過點D的直線交AC于E點,且△AEF為等邊三角形.
(1)求證:△DFB是等腰三角形;
(2)若DA=AF,求證:CF⊥AB.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】(1)由AB是⊙O直徑,得到∠ACB=90°,由于△AEF為等邊三角形,得到∠CAB=∠EFA=60°,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)過點A作AM⊥DF于點M,設(shè)AF=2a,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到FM=EN=a,AM=a,在根據(jù)已知條件得到AB=AF+BF=8a,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=EF=AF=CE=2a,推出∠ECF=∠EFC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.
解:(1)∵AB是⊙O直徑,
∴∠ACB=90°,
∵△AEF為等邊三角形,
∴∠CAB=∠EFA=60°,
∴∠B=30°,
∵∠EFA=∠B+∠FDB,
∴∠B=∠FDB=30°,
∴△DFB是等腰三角形;
(2)過點A作AM⊥DF于點M,設(shè)AF=2a,
∵△AEF是等邊三角形,∴FM=EN=a,AM=a,
在Rt△DAM中,AD=AF=2a,AM= ,
∴DM=5a,∴DF=BF=6a,
∴AB=AF+BF=8a,
在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=4a,
∵AE=EF=AF=CE=2a,∴∠ECF=∠EFC,
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°,∴∠CFE=30°,
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°,
∴CF⊥AB.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】世界最大的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)于2016年9月25日在貴州省平塘縣落成啟用,被譽為“中國天眼”,能夠接收到137億光年以外的電磁信號137億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.137×108
B.1.37×109
C.1.37×1010
D.1.37×1011
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖點D是△ABC的兩外角平分線的交點,下列說法:
①AD=CD
②D到△ABC的三邊所在直線的距離相等
③點D在∠B的平分線上
④若∠B=80°,則∠D=50°
其中正確的說法的序號是_____________________.
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