Question

（本小題滿分12分） 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M從點C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CA向終點A移動，同時動點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿AB向終點B移動，連接PM，設移動時間為t（s）（0＜t＜2.5）．

（1）當AP=AM時，求t的值.

（2）設四邊形BPMC的面積為（cm），求y與t之間的函數(shù)關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的？若存在，求出相應t的值，若不存在，說明理由；

（4）是否存在某一時刻t，使以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出相應t的值;若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）y =；（3）t=2；（4）或.

【解析】

試題分析：（1）因為AM=4－t,AP=2t，所以當AP=AM時，則4－t= 2t，解方程得；（2）過點P作PH⊥AC于點H，根據得PH=，利用可求出函數(shù)關系式y(tǒng) =；（3）假設存在某一時刻t，使四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的，則=×6，然后解方程即可；（4）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況討論.

試題解析：【解析】
（1）如圖，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根據勾股定理，得AB==5cm．

AM=4－t,AP=2t

當AP=AM時，則

4－t= 2t， ∴

當時， AP=AM 3分

過點P作PH⊥AC于點H，則PH∥BC，

∴,即∴PH=.

∴=6－()

y = 7分

（3）假設存在某一時刻t，使四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的，則=×6，解方程得，因為（0＜t＜2.5），所以當t=2時，四邊形BPMC的面積是Rt△ABC面積的； 9分

（4）分兩種情況討論，當 △AMP∽△ABC時所以解得，當△APM∽△ABC時，，所以當或時，以M，P，A為頂點的三角形與△ABC相似 12分.

考點：1.勾股定理；2.等腰三角形的性質；3.相似三角形的判定與性質；4.函數(shù)與幾何知識.