【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線,AB=4cm,BC=3cm.點P從點A出發(fā),沿AC方向勻速運動,速度為1cm/s,同時,點Q從點B出發(fā),沿BA方向勻

逨運動,速度為1cm/s,過點PPMAD于點M,連接PQ,設運動時間為ts

0t4).解答下列問題:

1)當t為何值時,四邊形PQAM是矩形?

2)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

3)當t為何值時,APQABC相似?

【答案】1)當t2時,四邊形PQAM是矩形.

2)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD

3)當t=21時,APQABC相似.

【解析】

試題分析:1)首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形,求出AC的長度是多少;然后根據(jù)相似三角形判定的方法,判斷出APQ∽△ACB,即可推得,據(jù)此求出t的值是多少即可.

2)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形,求出S矩形ABCD的值是多少;然后分別求出APMAPQ的面積各是多少,再根據(jù)S四邊形PQAM=S矩形ABCD,求出t的值是多少即可.

3)當t=21時,APQABC相似.根據(jù)題意,分兩種情況討論:AQP=90°時,APQABC相似;APQ=90°時,APQABC相似;求出當t為何值時,APQABC相似即可.

解:(1)如圖1,,

四邊形ABCD是矩形,

AC===5,

四邊形PQAM是矩形,

PQAB,

CBAB,

PQCB,

∴△APQ∽△ACB,

,

,

解得t=2,

t2時,四邊形PQAM是矩形.

2)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD

如圖2,

四邊形ABCD是矩形,

S矩形ABCD=ABBC=4×3=12,

PMAD,CDAD,

PMCD,

∴△APM∽△ACD

,

解得AM=,PM=t,

SAPM=AMPM=×=t2

sinPAQ==

SAPQ=APAQsinPAQ=t4﹣t×=t4﹣t),

S四邊形PQAM=S矩形ABCD

t2+t4﹣t=×,

整理,可得

t2﹣20t+36=0

解得t=2t=18(舍去),

存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD

3)當t=21時,APQABC相似.

由(1),可得

t=2時,AQP=90°,PQCB,APQABC相似.

如圖3,,

APQ=90°時,APQABC相似,

tanPAQ==

,

,

PQ=t,

BQ=t

AQ=4﹣t,

RtAPQ中,

AP2+PQ2=AQ2

,

解得t=1t=﹣16(舍去).

綜上,可得

t=21時,APQABC相似.

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