【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,2為半徑畫圓,P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)且在第一象限內(nèi),過點(diǎn)P作⊙O的切線,與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B.
(1)求證:△OBP與△OPA相似;
(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí),求出P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q,O,A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在,試求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)P點(diǎn)坐標(biāo)是(, );(3)存在;Q點(diǎn)坐標(biāo)是(,﹣).
【解析】試題分析:(1)在Rt△OAB中,由切線的性質(zhì)知:OP⊥AB,易證得△OAP∽△BPO.
(2)當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),由于OP⊥AB,那么OP平分∠AOB,即P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等,已知OP的長(zhǎng),易求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)此題應(yīng)分兩種情況:
①OP為對(duì)角線,此時(shí)OQ∥AP,由于∠OPA=90°,那么∠POQ=90°,即△POQ是等腰直角三角形,已知OA⊥OB,那么OB⊥PQ,此時(shí)OB為∠POQ的對(duì)角線,即P、Q關(guān)于y軸對(duì)稱由此得解;
②OP為邊,此時(shí)OP∥AQ,由于∠OPA=90°,那么平行四邊形OPAQ為矩形,即∠POQ是等腰直角三角形,解法同①.
解:(1)證明:
∵AB是過點(diǎn)P的切線,
∴AB⊥OP,∴∠OPB=∠OPA=90°;
∴在Rt△OPB中,∠1+∠3=90°,
又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3;
在△OPB中△APO中,
∴△OPB∽△APO.
(2)∵OP⊥AB,且PA=PB,
∴OA=OB,
∴△AOB是等腰三角形,
∴OP是∠AOB的平分線,
∴點(diǎn)P到x、y軸的距離相等;
又∵點(diǎn)P在第一象限,
∴設(shè)點(diǎn)P(x,x)(x>0),
∵圓的半徑為2,
∴OP=,解得x=或x=﹣(舍去),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是(,).
(3)存在;
①如圖設(shè)OAPQ為平行四邊形,∴PQ∥OA,OQ∥PA;
∵AB⊥OP,∴OQ⊥OP,PQ⊥OB,
∴∠POQ=90°,
∵OP=OQ,
∴△POQ是等腰直角三角形,
∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線,
∴∠BOQ=∠BOP=45°,
∴∠AOP=45°,
設(shè)P(x,x)、Q(﹣x,x)(x>0),
∵OP=2代入得,解得x=,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣,);(1分)
②如圖示OPAQ為平行四邊形,
同理可得Q點(diǎn)坐標(biāo)是(,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店銷售每臺(tái)A型電腦的利潤(rùn)為100元,銷售每臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為150元,該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái),設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái),這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)A,B兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái),其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍,那么商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái),才能使銷售總利潤(rùn)最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)一批兩種不同型號(hào)的衣服,已知購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)衣服9件,B種型號(hào)衣服10件,則共需1810元;若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)衣服12件,B種型號(hào)衣服8件,共需1880元;已知銷售一件A型號(hào)衣服可獲利18元,銷售一件B型號(hào)衣服可獲利30元,要使在這次銷售中獲利不少于699元,且A型號(hào)衣服不多于28件.
(1)求A、B型號(hào)衣服進(jìn)價(jià)各是多少元?
(2)若已知購(gòu)進(jìn)A型號(hào)衣服是B型號(hào)衣服的2倍還多4件,則商店在這次進(jìn)貨中可有幾種方案并簡(jiǎn)述購(gòu)貨方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在第四象限內(nèi)的矩形OABC,兩邊在坐標(biāo)軸上,一個(gè)頂點(diǎn)在一次函數(shù)y=0.5x﹣3的圖象上,當(dāng)點(diǎn)A從左向右移動(dòng)時(shí),矩形的周長(zhǎng)與面積也隨之發(fā)生變化,設(shè)線段OA的長(zhǎng)為m,矩形的周長(zhǎng)為C,面積為S.
(1)試分別寫出C、S與m的函數(shù)解析式,它們是否為一次函數(shù)?
(2)能否求出當(dāng)m取何值時(shí),矩形的周長(zhǎng)最大?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算 (1)25.3+(-7.3)+(-13.7)+7.3 (2)
(3)
(4)閱讀理解:計(jì)算
解法:原式的倒數(shù)==
==20-3+5-12=10
∴原式=
請(qǐng)你仿照上述方法計(jì)算:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解全校學(xué)生上學(xué)期參加“生涯規(guī)劃”社區(qū)活動(dòng)的情況,學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了本校50名學(xué)生參加社區(qū)活動(dòng)的次數(shù),并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下:
參加社區(qū)活動(dòng)次數(shù)的頻數(shù)、頻率
活動(dòng)次數(shù)x | 頻數(shù) | 頻率 |
0<x≤3 | 10 | 0.20 |
3<x≤6 | a | 0.24 |
6<x≤9 | 16 | 0.32 |
9<x≤12 | 6 | 0.12 |
12<x≤15 | b | m |
15<x≤18 | 2 | n |
根據(jù)以上圖表信息,解答下列問題:
(1)表中a= , b= , m= , n= .
(2)請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整(畫圖后請(qǐng)標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù));
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分別在AD、BC上,且DE=BP=1.
(1)判斷△BEC的形狀,并說明理由?
(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形?并證明你的判斷;
(3)求四邊形EFPH的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O為正方形ABCD的外接圓,E為弧BC上一點(diǎn),AF⊥DE于F,連OF、OD.
(1)求證:AF=EF;
(2)若,求sin∠DOF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩地相距480km,C地在A、B兩地之間.一輛轎車以100km/h的速度從A地出發(fā)勻速行駛,前往B地.同時(shí),一輛貨車以80km/h的速度從B地岀發(fā),勻速行駛,前往A地.
(1)當(dāng)兩車相遇時(shí),求轎車行駛的時(shí)間;
(2)當(dāng)兩車相距120km時(shí),求轎車行駛的時(shí)間;
(3)若轎車到達(dá)B地后,立刻以120km/h的速度原路返回,再次經(jīng)過C地,兩次經(jīng)過C地的時(shí)間間隔為2.2h,求C地距離A地路程.
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