Question

10．在⊙O中，弦AB和弦AC構(gòu)成的∠BAC=45°，M、N分別是AB和AC的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)為45°或135°．

Answer 1

分析 連接OM，ON，利用垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥AC，再分類(lèi)討論，當(dāng)AB，AC在圓心異側(cè)時(shí)（如圖1），利用四邊形內(nèi)角和得結(jié)果；
當(dāng)AB，AC在圓心同側(cè)時(shí)（如圖2），利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)果．

解答 解：連接OM，ON，
∵M(jìn)、N分別是AB和AC的中點(diǎn)，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
OM⊥AB，ON⊥AC，
當(dāng)AB，AC在圓心異側(cè)時(shí)（如圖1），
∵∠BAC=45°，
在四邊形AMON中，
∴∠MON=360°-90°-90°-45°=135°；
當(dāng)AB，AC在圓心同側(cè)時(shí)（如圖2），
∵∠ADM=∠ODN，∠AMD=∠OND，
∴△ADM∽△ODN，
∴∠MON=∠BAC=45°．
故答案為：135°或45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了垂徑定理、四邊形內(nèi)角和定理；熟練掌握垂徑定理，進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．