Question

【題目】定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點.

（1）已知M、N線段AB分割成AM，MN，NB，若，則點M，N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由；

（2）已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若，求BN的長.

Answer 1

【答案】（1）點M，N是線段AB的勾股分割點，理由見詳解；（2）12或13.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷點M，N是線段AB的勾股分割點；

（2）設(shè)BN=x，則MN=30-AM-BN=25-x，分3種情況，分類討論：①當(dāng)MN是最長邊時，，②當(dāng)BN是最長邊時，，③當(dāng)AM是最長邊時，這種情況不存在；分別進行求解，即可.

(1)點M，N是線段AB的勾股分割點，理由如下：

∵，

又∵ ，

∴，

∴以AM，BN，MN為邊的三角形是直角三角形，

∴點M，N是線段AB的勾股分割點；

(2)設(shè)BN=x，

則MN=30-AM-BN=25-x，

①當(dāng)MN是最長邊時，

∵點M，N是線段AB的勾股分割點，

∴，

∴，

解得：x=12；

②當(dāng)BN是最長邊時，

∵點M，N是線段AB的勾股分割點，

∴，

∴，

解得：x=13；