【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)E.求ME長(zhǎng)的最大值;
(3)試探究當(dāng)ME取最大值時(shí),在拋物線上、x軸下方是否存在點(diǎn)P,使以M,F(xiàn),B,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
試題分析:(1)由求出點(diǎn)A,C的坐標(biāo),然后帶入,解方程組即可;(2)求出直線BC的解析式是y=x-3,根據(jù)點(diǎn)M在直線BC 上,設(shè)M(x,x-3),則E(x,x2-2x-3)
,表示出線段ME的長(zhǎng),用配方法可求出最大值;(3)設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P,使以P,M,F,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后判斷點(diǎn)P是不是在拋物線上即可.
試題解析:解:(1)當(dāng)y=0時(shí),-3x-3=0,x=-1,∴A(-1, 0).
當(dāng)x=0時(shí),y=-3,∴C(0,-3).
∵拋物線過(guò)A,C兩點(diǎn),
拋物線的解析式是y=x2-2x-3.
當(dāng)y=0時(shí), x2-2x-3=0,解得 x1=-1,x2=3.
∴ B(3, 0).
(2)由(1)知 B(3, 0) , C(0,-3),
直線BC的解析式是y=x-3.
設(shè)M(x,x-3)(0≤x≤3),則E(x,x2-2x-3)
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x=-2+.
∴當(dāng)x=時(shí),ME的最大值為.
(3)不存在.由(2)知 ME 取最大值時(shí),
ME=, ∴MF=,BF=OB-OF=.
設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P,使以P,M,F,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
則BP∥MF,BF∥PM.∴P1或 P2.
當(dāng)P1時(shí),由(1)y=x2-2x-3=-3≠-,∴P1不在拋物線上.
當(dāng)P2時(shí),由(1)知y=x2-2x-3=0≠-,
∴P2不在拋物線上.
綜上所述:在拋物線上x軸下方不存在點(diǎn)P,使以P,M,F,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
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【題目】已知拋物線y=a(x+3)2+c上有兩點(diǎn)(x1 , y1)和(x2 , y2),若|x1+3|>|x2+3|,則下列結(jié)論一定成立的是( )
A.y1+y2>0
B.y1﹣y2>0
C.a(y1﹣y2)>0
D.a(y1+y2)>0
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【題目】若m>n,則下列式子中錯(cuò)誤的是( )
A. m-4>n-4B. 3m> 3nC. m+3> n+3D. -m>-n
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【題目】下列各式的計(jì)算,正確的是( 。
A. 3a+2b=5ab B. 5y2﹣3y2=2
C. ﹣12x+7x=﹣5x D. 4m2n﹣2mn2=2mn
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【題目】如圖,函數(shù)y=和y=﹣的圖象分別是l1和l2.設(shè)點(diǎn)P在l1上,PC⊥x軸,垂足為C,交l2于點(diǎn)A,PD⊥y軸,垂足為D,交l2于點(diǎn)B,則三角形PAB的面積為_______.
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【題目】已知,點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),分別過(guò)A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí),AE與BF的位置關(guān)系是________,QE與QF的數(shù)量關(guān)系是________.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí),試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA(或AB)的延長(zhǎng)線上時(shí),此時(shí)(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明.
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