【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,拋物線交x軸于A、C兩點(diǎn),與直線y=x﹣1交于A、B兩點(diǎn),直線AB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解板式.
(2)點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng),若△ABP的面積最大,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請直接寫出符合條件點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)點(diǎn)P(,);(3)符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).
【解析】
(1)令y=0,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的對稱軸是x=﹣1,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可;
(2)設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2﹣2m+3),利用拋物線與直線相交,求出點(diǎn)B的坐標(biāo),過點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F,利用S△ABP=S△PBF+S△PFA,用含m的式子表示出△ABP的面積,利用二次函數(shù)的最大值,即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)求出點(diǎn)E的坐標(biāo),然后求出直線BC、直線BE、直線CE的解析式,再根據(jù)以點(diǎn)B、E、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,得到直線D1D2、直線D1D3、直線D2D3的解析式,即可求出交點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)令y=0,可得:x﹣1=0,解得:x=1,
∴點(diǎn)A(1,0),
∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,
∴﹣1×2﹣1=﹣3,即點(diǎn)C(﹣3,0),
∴ ,解得:
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng),
∴設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2﹣2m+3),
∵拋物線與直線y=x﹣1交于A、B兩點(diǎn),
∴ ,解得:,
∴點(diǎn)B(﹣4,﹣5),
如圖,過點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F,
則點(diǎn)F(m,m﹣1),
∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m+1=﹣m2﹣3m+4,
∴S△ABP=S△PBF+S△PFA
=(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
=-(m+ )2+ ,
∴當(dāng)m=時(shí),P最大,
∴點(diǎn)P(,).
(3)當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣1﹣1=﹣2,
∴點(diǎn)E(﹣1,﹣2),
如圖,直線BC的解析式為y=5x+15,直線BE的解析式為y=x﹣1,直線CE的解析式為y=﹣x﹣3,
∵以點(diǎn)B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
∴直線D1D3的解析式為y=5x+3,直線D1D2的解析式為y=x+3,直線D2D3的解析式為y=﹣x﹣9,
聯(lián)立 得D1(0,3),
同理可得D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,O為AB邊上一點(diǎn),⊙O交AB于E,F兩點(diǎn),BC切⊙O于點(diǎn)D,且CD=EF=1.
(1)求證:⊙O與AC相切.
(2)求圖中陰影部分的面積.
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【題目】點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對稱中心,AD>AB,E、F分別是AB邊上的點(diǎn),且EF=AB;G、H分別是BC邊上的點(diǎn),且GH=BC;若S1,S2分別表示EOF和GOH的面積,則S1,S2之間的等量關(guān)系是______________
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【題目】如圖,過點(diǎn)C(2,1)分別作x軸、y軸的平行線,交直線y=﹣x+4于B、A兩點(diǎn),若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且頂點(diǎn)在矩形ADBC內(nèi)(包括邊上),則a的取值范圍是____.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=2,P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)A重合,過點(diǎn)P作PE⊥AB交AD于點(diǎn)E,將∠A沿PE折疊,點(diǎn)A落在直線AB上點(diǎn)F處,連接DF、CF,當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí),AP的長是_____.
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【題目】如圖,拋物線與過點(diǎn)(0,-3)且平行于x軸的直線相交于點(diǎn)、,與軸交于點(diǎn)C,若 為直角,則a=_______
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【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____,點(diǎn)C的坐標(biāo)為______;
(2)如圖,點(diǎn)M在拋物線位于A、C兩點(diǎn)間的部分(與A、C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)M作PM⊥AC,與x軸正半軸交于點(diǎn)P,連接PC,過點(diǎn)M作MN平行于x軸,交PC于點(diǎn)N.
①若點(diǎn)N為PC的中點(diǎn),求出PM的長;
②當(dāng)MN=NP時(shí),求PC的長以及點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】 如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,把矩形折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,則折痕FG的長為( )
A. 2.5B. 3C. D. 2
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