Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC＜BC．

(1)試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在BC上作一點(diǎn)E，使得直線ED平分ABC的周長(zhǎng)；(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)．

(2)在(1)的條件下，若DE分Rt△ABC面積為1﹕2兩部分，請(qǐng)?zhí)骄?/span>AC與BC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)BC=3AC

【解析】

（1）在BC上用圓規(guī)截取BF=AC，然后再作FC的垂直平分線，其與BC的交點(diǎn)即為E點(diǎn)，最后連接DE即可．

（2）連接DC，由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則S△ADC=S△BCD;設(shè)S△ADC=S△BCD=x，S△DEC=y，則有（x+y）：（x-y）=2:1，解得x=3y，即E為BC的三等分點(diǎn)，即可說(shuō)明BC=3EC;有EC=EF=BF=AC,即BC=3AC．

解：（１）如圖：DE即為所求；

（2）連接DC

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

∴S△ADC=S△BCD

設(shè)S△ADC=S△BCD=x，S△DEC=y，

∵S△BDC:S四邊形CADE=1:2

∴(S△BDC -S△DCE):( S△ADC+S△DCE)=1:2,

∴2（x-y）=x+y，即x=3y

∴點(diǎn)E為BC的三等分點(diǎn), 即BC=3EC

∵EC=EF=BF=AC

∴BC=3AC．