Question

已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．
（1）求證：AH=2OM；
（2）若∠BAC=60°，求證：AH=AO．（初二）

Answer 1

證明：（1）
過O作OF⊥AC，于F，
則F為AC的中點，
連接CH，取CH中點N，連接FN，MN，
則FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，
∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，
∴OM∥AD，BE∥OF，
∵M為BC中點，N為CH中點，
∴MN∥BE，
∴OM∥FN，MN∥OF，
∴四邊形OMNF是平行四邊形，
∴OM=FN，
∵AH=2FN，
∴AH=2OM．

（2）證明：連接OB，OC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OB=2OM=AH=AO，
即AH=AO．
分析：（1）過O作OF⊥AC，于F，則F為AC的中點，連接CH，取CH中點N，連接FN，MN，得出平行四邊形OMNF，即可得出答案．
（2）根據(jù)圓周角定理求出∠BOM，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出OB=2OM即可．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定理、含30度角的直角三角形性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，題目綜合性較強，有一定的難度，但題型較好，難點是如何作輔助線．