如圖,已知在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),以AE為直徑的⊙O與過B點(diǎn)的⊙P精英家教網(wǎng)外切于點(diǎn)D,若AC和BC邊的長是關(guān)于x的方程x2-(AB+4)x+4AB+8=0的兩根,且25BC•sinA=9AB,
(1)求△ABC三邊的長;
(2)求證:BC是⊙P的切線;
(3)若⊙O的半徑為3,求⊙P的半徑.
分析:(1)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到AC+BC=AB+4,AC•BC=4AB+8,則有AC2+BC2=(AC+BC)2-2AC•BC=(AB+4)2-2(4AB+8)=AB2,根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠C=90°,再利用正弦的定義得到sinA=
BC
AB
,而25BC•sinA=9AB,則
BC
AB
=
3
5
,然后設(shè)BC=3k,AB=5k,則AC=4k,利用AC+BC=AB+4即可求出k,從而得到△ABC三邊的長;
(2)連接BP,PO,根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得到D在OP上,易證得∠PBD=∠A,則PB∥AC,得到PB⊥BC,根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(3)設(shè)⊙P的半徑為r,過P作PH⊥AC于H,則PH=BC=6,OH=8-3-r=5-r,在Rt△OPH中,利用勾股定理得到關(guān)于r的方程,解方程即可.
解答:(1)解:∵AC和BC邊的長是關(guān)于x的方程x2-(AB+4)x+4AB+8=0的兩根,
∴AC+BC=AB+4,AC•BC=4AB+8,
∴AC2+BC2=(AC+BC)2-2AC•BC=(AB+4)2-2(4AB+8)=AB2
∴∠C=90°,
∴sinA=
BC
AB
,
∵25BC•sinA=9AB,
∴9AB2=25BC2
BC
AB
=
3
5
,
設(shè)BC=3k,AB=5k,則AC=4k,
∴4k+3k=5k+4,
∴k=2,
∴BC=6,AB=10,AC=8;

(2)證明:連接BP,PO,如圖1,精英家教網(wǎng)
∵⊙O與過B點(diǎn)的⊙P外切于點(diǎn)D,
∴D在OP上,
∵OA=OD,PD=PB,
∴∠A=∠ADO,∠PDB=∠PBD,
∴∠PBD=∠A,
∴PB∥AC,
∵∠C=90°,
∴PB⊥BC,
∴BC是⊙P的切線;
精英家教網(wǎng)
(3)設(shè)⊙P的半徑為r,過P作PH⊥AC于H,如圖2,
∴PH=BC=6,OH=8-3-r=5-r,
在Rt△OPH中,
∴OP2=PH2+OH2,即(3+r)2=(5-r)2+62
解得r=
13
4
點(diǎn)評(píng):本題考查了兩圓相切的性質(zhì):兩圓相切,連心線必過切點(diǎn);也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的定義和切線的判定以及勾股定理.
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60°
60°

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125°
125°

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