Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，對稱軸交軸于點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)為對稱軸上一動點(diǎn)，求周長的最小值；

（3）設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，為對稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)距離為2，可以直接寫出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出b、c的值；

（2）因?yàn)?/span>AC為定值，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可確定P點(diǎn)的位置，然后用勾股定理即可求得周長的最小值；

（3）根據(jù)“菱形對角線互相垂直平分以及拋物線的對稱性”可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).

（1）拋物線與軸交于點(diǎn)、，且，

根據(jù)對稱性，得，

∵對稱軸為直線，

∴，，

∴點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，

把、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，

得到，

解得，

∴拋物線的解析式為：．

（2）如圖中，連結(jié)，與對稱軸交點(diǎn)則為點(diǎn)，連接、．

由線段垂直平分線性質(zhì)，得，

∴，

∴，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，得周長的最小，

∵為

∴，

在中，有，

在中，有，

∴的周長的最小值為：．

（3）如圖中，當(dāng)點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)時，時，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時點(diǎn)

故答案為:．