【題目】在Rr△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,點O為AB的中點,點D、E分別為AC、AB邊上的動點,且保持DO⊥EO,連接CO、DE交于點P.
(1)求證:OD=OE;
(2)在運動的過程中,DPEP是否存在最大值?若存在,請求出DPEP的最大值;若不存在,請說明理由.
(3)若CD=2CE,求DP的長度.
【答案】(1)證明見解析(2)DPEP存在最大值為(3)PG=,PD=
【解析】
(1)證明△ADO≌△CEO,可得OD=OE;
(2)先根據(jù)對角互補證明D、C、E、O四點共圓,再得△DPO∽△CPE,列比例式可得:PDEP=CPPO,設CP=x,則OP=﹣x,則CPPO=x(﹣x )=﹣,根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得出DPEP存在最大值為;
(3)設CE=a,則CD=2a,根據(jù)AC=1列等式求出,a=,則CE=,CD=,根據(jù)勾股定理求DE的長,作輔助線構(gòu)建平行線,得相似,列比例式可求得DP的長.
證明:(1)∵AC=BC=1,點O為AB的中點,
∴CO⊥AB,CO=AO,
∴∠COA=90°,
∴∠DOP+∠AOD=90°,
∵DO⊥OE,
∴∠DOP+∠POE=90°,
∴∠AOD=∠POE,
同理∠A=∠OCE,
∴△ADO≌△CEO,
∴OD=OE;
(2)∵∠ACB=90°,∠DOE=90°,
∴∠ACB+∠DOE=180°,
∴D、C、E、O四點共圓,
∴∠ODP=∠PCE,∠DPO=∠CPE,
∴△DPO∽△CPE,
∴,
∴PDEP=CPPO,
在Rt△ACB中,AB=,
∴CO=AO=BO=,
設CP=x,則OP=﹣x,
則CPPO=x(﹣x )=﹣=﹣(x﹣)2+,
即當x=時,CPPO有最大值為,
也就是DPEP存在最大值為;
(3)設CE=a,則CD=2a,
由(1)得:AD=CE=a,
∵AC=1,
∴a+2a=1,
a=,
∴CE=,CD=,
由勾股定理得:DE=,
過P作PG∥BC,交AC于G,
∵∠DCO=45°,
∴PG=CG,
∵PG∥CE,
∴△DGP∽△DCE,
∴,
∴,
∴PG=,PD=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D.
(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)在對稱軸上是否存在一點M,使△ANM的周長最。舸嬖冢埱蟪M點的坐標和△ANM周長的最小值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點F,連接CD,EB.
(1)圖中還有幾對全等三角形,請你一一列舉;
(2)求證:CF=EF.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線上在x軸下方的動點,過M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對稱軸上一點,F是拋物線上一點,是否存在以A,B,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】觀察下列等式:
第1個等式:
第2個等式:
第3等式:
第4個等式:
請解答下列問題:
(1)按以上規(guī)律寫出第5個等式:a5= = .
(2)用含n的式子表示第n個等式:an= = (n為正整數(shù)).
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2018的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知A(2,0)、B(3,1)、C(1,3).
(1)將△ABC沿x軸負方向移動2個單位長度至△A1B1C1,畫圖并寫出點C1的坐標;
(2)以點A1為旋轉(zhuǎn)中心,將△A1B1C1逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2,畫圖并寫出點C2的坐標;
(3)以B、C1、C2為頂點的三角形是 三角形,其外接圓的半徑R= .
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【題目】如圖,點A,B為定點,定直線l//AB,P是l上一動點.點M,N分別為PA,PB的中點,對于下列各值:
①線段MN的長;
②△PAB的周長;
③△PMN的面積;
④直線MN,AB之間的距離;
⑤∠APB的大。
其中會隨點P的移動而變化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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【題目】為滿足市場需求,某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元.超市規(guī)定每盒售價不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn);當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒.
(1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P(元)最大?最大利潤是多少?
(3)為穩(wěn)定物價,有關(guān)管理部門限定:這種粽子的每盒售價不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒?
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【題目】某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品,每件制造成本為18元,試銷過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=﹣2x+100.(利潤=售價﹣制造成本)
(1)寫出每月的利潤z(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當銷售單價為多少元時,廠商每月能獲得350萬元的利潤?當銷售單價為多少元時,廠商每月能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定,這種電子產(chǎn)品的銷售單價不能高于32元,如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤,那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元?
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