Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）證明：當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AF與CE總保持相等；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，說(shuō)明理由并求出此時(shí)∠AOF度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，AB∥EF，

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形

（2）證明：∵四邊形ABEF是平行四邊形，

∴AO=CO，AF∥EC，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE，

∴AF=CE．

（3）解：結(jié)論：四邊形BEDF可能是菱形．

∵△AOF≌△COE，

∴OE=OF，

∴EF與BD互相平分，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形，

在Rt△ABC中，AC= =2，

∴OA=1=AB，

∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，∠AOF=45°．

【解析】（1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明．（2）只要證明△AOF≌△COE即可．（3）結(jié)論：四邊形BEDF可能是菱形．根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形．