Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx+

1

2

k2-2=0，
（1）求證：不論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x₁、x₂是方程的兩個(gè)根，且x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要保證方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就必須使△＞0恒成立；
（2）欲求k的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．

解答：解：（1）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx+

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2

k2-2=0，
∴△=（-2k）²-4×（

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2

k²-2）=2k²+8，
∵2k²+8＞0恒成立，
∴不論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）∵x₁、x₂是方程的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=

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2

k²-2，
∴x₁²-2kx₁+2x₁x₂=x₁²-（x₁+x₂）x₁+2x₁x₂=x₁x₂=

1

2

k²-2=5，
解得k=±

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．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．