Question

如圖，B為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點(diǎn)M．
（1）求證：BE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求證：AC²=CM•CF；
（3）若CM=

2 7

7

，MF=

12 7

7

，求BD；
（4）若過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE交EF于點(diǎn)G，過(guò)G作GH∥DE交DF于點(diǎn)H，則易知△DGH是等邊三角形．設(shè)等邊△ABC、△BDE、△DGH的面積分別為S₁、S₂、S₃，試探究S₁、S₂、S₃之間的等量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出其結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：連接OB
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠EBD=60°
∴∠OBC=30°（1分）
∵∠CBE=180°-60°-60°=60°
∴∠OBE=30°+60°=90°即OB⊥BE（2分）
∴BE是⊙O的切線(xiàn)；（3分）

（2）證明：連接AM，則∠AMC=∠ABC=∠CAF=60°（4分）
∵∠ACM=∠FCA
∴△ACM∽△FCA（5分）
∴

AC

CF

=

CM

AC

∴AC²=CM•CF；（6分）

（3）∵AC²=CM•CF
∴AC=2（7分）
設(shè)FB=x
∵FB•FA=FM•FC
∴x(x+2)=

12 7

7

•2

7

∴x=4，x=-6（舍去）
∴FB=4（8分）
∵EB∥AC
∴

BE

AC

=

FB

FA

∴

BE

2

=

4

6

（9分）
∴BE=

4

3

∴BD=

4

3

；（10分）

（4）S₂²=S₁•S₃或

S1

S2

=

S2

S3

（12分）．