Question

【題目】如圖1，以斜邊AB為直徑作Rt△ABC的外接圓，圓心為O，P為弧BC的中點(diǎn)．

（1）只用直尺和筆作圖：在弧ACB另一側(cè)的圓上找一點(diǎn)G，連接PG交BC于點(diǎn)D，使D成為BC中點(diǎn)．并說(shuō)明你的理由．

（2）在（1）小題圖形基礎(chǔ)上，在DG上取一點(diǎn)K，使DK＝DP，連接CK、BK，判斷四邊形PBKC的形狀，并證明你的結(jié)論．

（3）如題圖2，取CP的中點(diǎn)E，連接ED并延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)H，連接PH，求證：當(dāng)∠CAB＝60°時(shí)，H為AB四等分點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析；（2）四邊形PBKC是菱形，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理可得，連接PO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)G即為所求；

（2）先根據(jù)垂徑定理得，，再根據(jù)菱形的判定即可得；

（3）先根據(jù)中位線定理得出，再根據(jù)圓周角定理、平行線的判定得出，從而有，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得出，從而有，最后根據(jù)中位線定理、直角三角形的性質(zhì)得出，由此即可得證．

（1）如圖，連接PO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求，理由如下：

∵P是弧BC的中點(diǎn)

∴D是BC中點(diǎn)；（垂徑定理)

（2）四邊形PBKC是菱形，證明如下：

由（1）知，，（垂徑定理）

∵

∴四邊形PBKC是菱形；（兩條對(duì)角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形）

（3）∵

∴，即

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

由（1）知，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)

為的中位線

在中，

∴點(diǎn)H為OB中點(diǎn)，即為AB四等分點(diǎn)．