【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一個動點(diǎn),過C作CE垂直于BD的延長線,垂足為E,如圖1

(1)求證:ADCD=BDDE;
(2)若BD是邊AC的中線,如圖2,求 的值;

(3)如圖3,連接AE.若AE=EC,求 的值.

【答案】
(1)

解:∵CE⊥BD,

∴∠A=∠E=90°,

∵∠ADB=∠EDC,

∴△BAD∽△CED,

,

∴ADCD=BDDE;


(2)

解:設(shè)CD=AD=a,則AB=AC=2a.

在Rt△ABD中,由勾股定理得:BD= a,

由(1)知,△BAD∽△CED,

,

,

解得:CE= a,

= = ;


(3)

解:如圖3,延長CE、BA相交于點(diǎn)F.

∵BE是∠ABC的角平分線,且BE⊥CF

在△BEC和△BEF中, ,

∴△BEC≌△BEF,

∴CE=EF,

∴CF=2CE

又∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°,

且∠ADB=∠CDE,

∴∠ABD=∠ACF

∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,

在△ABD和△ACF中, ,

∴△ABD≌△ACF(ASA),

∴BD=CF,

∴BD=2CE,

=2.


【解析】(1)直接判斷出△ABD∽△ECD,即可得出結(jié)論;(2)先設(shè)AB=AC=2a,CD=a,則BC= a,AD=a.求出BD,而△BAD∽△CED,得出 ,代入求出CE即可解決問題.(2)如圖3,延長CE、BA相交于點(diǎn)F.只要證明△BEC≌△BEF,推出CE=EF,CF=2CE,由ABD≌△ACF,推出BD=CF,即可解決問題.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)此次共調(diào)查了多少人?
(2)求文學(xué)社團(tuán)在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù)
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A.(2016,0)
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C.(2017,﹣1)
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A.
B.
C.
D.

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(4)圖中ACA′C′的關(guān)系是:      ;

(5)BCE的面積為      

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