已知二次函數(shù)(a>0)的圖象與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)兩點,與y軸交于點C,x1,x2是方程的兩根.
(1)若拋物線的頂點為D,求S△ABC:S△ACD的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函數(shù)的解析式.
解:(1)解方程,得x=-5或x=1,
∵x1<x2,∴x1=﹣5,x2=1!郃(﹣5,0),B(1,0)。
∴拋物線的解析式為:(a>0)。
∴對稱軸為直線x=2,頂點D的坐標為(-2,-9a)。
令x=0,得y=-5a,∴C點的坐標為(0,﹣5a)。
依題意畫出圖形,如圖所示,
則OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a。
過點D作DE⊥y軸于點E,
則DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a。
∴
。
而,
∴。
(2)如圖所示,
在Rt△DCE中,由勾股定理得:CD2=DE2+CE2=4+16a2,
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC2=OA2+OC2=25+25a2,
設對稱軸x=2與x軸交于點F,則AF=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:AD2=AF2+DF2=9+81a2。
∵∠ADC=90°,∴△ACD為直角三角形,
由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
即,化簡得:。
∵a>0,∴。
∴拋物線的解析式為:,即。
解析
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎,每年可在國內、國外市場上全部售完,該公司的年產量為6千件,若在國內市場銷售,平均每件產品的利潤y1(元)與國內銷售數(shù)量x(千件)的關系為:若在國外銷售,平均每件產品的利潤y2(元)與國外的銷售數(shù)量t(千件)的關系為:
(1)用x的代數(shù)式表示t為:t= ;當0<x≤4時, y2與x的函數(shù)關系為y2= ;當 ≤x< 時,y2=100;
(2)求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w(千元)與國內的銷售數(shù)量x(千件)的函數(shù)關系式,并指出x的取值范圍;
(3)該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時,可使公司每年的總利潤最大?最大值為多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線與軸交于點.
(1)平移該拋物線使其經過點和點(2,0),求平移后的拋物線解析式;
(2)求該拋物線的對稱軸與(1)中平移后的拋物線對稱軸之間的距離.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線(b,c是常數(shù),且c<0)與x軸分別交于點A,B(點A位于點B的左側),與y軸的負半軸交于點C,點A的坐標為(-1,0).
(1)b= ,點B的橫坐標為 (上述結果均用含c的代數(shù)式表示);
(2)連接BC,過點A作直線AE∥BC,與拋物線交于點E.點D是x軸上一點,其坐標為
(2,0),當C,D,E三點在同一直線上時,求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,點P是x軸下方的拋物線上的一動點,連接PB,PC,設所得△PBC的面積為S.
①求S的取值范圍;
②若△PBC的面積S為整數(shù),則這樣的△PBC共有 個.
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在平面直角坐標系中,已知拋物線(b,c為常數(shù))的頂點為P,等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為(0,﹣1),C的坐標為(4,3),直角頂點B在第四象限.
(1)如圖,若該拋物線過A,B兩點,求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)平移(1)中的拋物線,使頂點P在直線AC上滑動,且與AC交于另一點Q.
(i)若點M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點,當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時,求出所有符合條件的點M的坐標;
(ii)取BC的中點N,連接NP,BQ.試探究是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請說明理由.
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已知拋物線拋物線(n為正整數(shù),且0<a1<a2<…<an)與x軸的交點為An-1(bn-1,0)和An(bn,0),當n=1時,第1條拋物線與x軸的交點為A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此類推.
(1)求a1,b1的值及拋物線y2的解析式;
(2)拋物線y3的頂點坐標為( , );
依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標為( , );
所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系是 ;
(3)探究下列結論:
①若用An-1An表示第n條拋物線被x軸截得得線段長,直接寫出A0A1的值,并求出An-1An;
②是否存在經過點A(2,0)的直線和所有拋物線都相交,且被每一條拋物線截得得線段的長度都相等?若存在,直接寫出直線的表達式;若不存在,請說明理由.
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如圖,在直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=x2+(2k﹣1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使△AOB的面積等于6,求點B的坐標;
(3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使∠POB=90°?若存在,求出點P的坐標,并求出△POB的面積;若不存在,請說明理由.
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如圖.在平面直角坐標系中,邊長為的正方形ABCD的頂點A、B在x軸上,連接OD、BD、△BOD的外心I在中線BF上,BF與AD交于點E.
(1)求證:△OAD≌△EAB;
(2)求過點O、E、B的拋物線所表示的二次函數(shù)解析式;
(3)在(2)中的拋物線上是否存在點P,其關于直線BF的對稱點在x軸上?若有,求出點P的坐標;
(4)連接OE,若點M是直線BF上的一動點,且△BMD與△OED相似,求點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知:如圖①,直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點,兩動點D、E分別從A、B兩點同時出發(fā)向O點運動(運動到O點停止);對稱軸過點A且頂點為M的拋物線(a<0)始終經過點E,過E作EG∥OA交拋物線于點G,交AB于點F,連結DE、DF、AG、BG.設D、E的運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒,運動時間為t秒.
(1)用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長;
(2)當t為何值時,四邊形ADEF是菱形?判斷此時△AFG與△AGB是否相似,并說明理由;
(3)當△ADF是直角三角形,且拋物線的頂點M恰好在BG上時,求拋物線的解析式.
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