【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上,OA=4,AB=3.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度,沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng);同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1.25個(gè)單位長度的速度,沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng).當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒(0<x<4)時(shí),解答下列問題:

(1)求點(diǎn)N的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示);
(2)設(shè)△OMN的面積是S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)x為何值時(shí),S有最大值?最大值是多少?
(3)在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:根據(jù)題意得:MA=x,ON=1.25x,

在Rt△OAB中,由勾股定理得:OB= = =5,

作NP⊥OA于P,如圖1所示:

則NP∥AB,

∴△OPN∽△OAB,

,

解得:OP=x,PN= ,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是(x,


(2)

解:在△OMN中,OM=4﹣x,OM邊上的高PN=

∴S= OMPN= (4﹣x) =﹣ x2+ x,

∴S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S=﹣ x2+ x(0<x<4),

配方得:S=﹣ (x﹣2)2+ ,

∵﹣ <0,

∴S有最大值,

當(dāng)x=2時(shí),S有最大值,最大值是


(3)

解:存在某一時(shí)刻,使△OMN是直角三角形,理由如下:

分兩種情況:①若∠OMN=90°,如圖2所示:

則MN∥AB,

此時(shí)OM=4﹣x,ON=1.25x,

∵M(jìn)N∥AB,

∴△OMN∽△OAB,

,

,

解得:x=2;

②若∠ONM=90°,如圖3所示:

則∠ONM=∠OAB,

此時(shí)OM=4﹣x,ON=1.25x,

∵∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA,

∴△OMN∽△OBA,

,

,

解得:x=

綜上所述:x的值是2秒或


【解析】(1)由勾股定理求出OB,作NP⊥OA于P,則NP∥AB,得出△OPN∽△OAB,得出比例式 ,求出OP、PN,即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo);(2)由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù),即可得出S的最大值;(3)分兩種情況:①若∠OMN=90°,則MN∥AB,由平行線得出△OMN∽△OAB,得出比例式,即可求出x的值;②若∠ONM=90°,則∠ONM=∠OAB,證出△OMN∽△OBA,得出比例式,求出x的值即可.
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,∠ACB=90°AC=BC,ADCE,BECE,垂足分別為D,E

1)證明:BCE≌△CAD;

2)若AD=25cm,BE=8cm,求DE的長.

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【題目】某企業(yè)在“蜀南竹!笔召徝,直接銷售,每噸可獲利100元,進(jìn)行粗加工,每天可加工8噸,每噸可獲利800元;如果對(duì)毛竹進(jìn)行精加工,每天可加工1噸,每噸可獲利4000元.由于受條件限制,每天只能采用一種方式加工,要求將在一月內(nèi)(30天)將這批毛竹93噸全部銷售.為此企業(yè)廠長召集職工開會(huì),讓職工討論如何加工銷售更合算.

甲說:將毛竹全部進(jìn)行粗加工后銷售;

乙說:30天都進(jìn)行精加工,未加工的毛竹直接銷售;

丙說:30天中可用幾天粗加工,再用幾天精加工后銷售;

請問廠長應(yīng)采用哪位說的方案做,獲利最大?

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(1)試求袋中綠球的個(gè)數(shù);
(2)第1次從袋中任意摸出1球(不放回),第2次再任意摸出1球,請你用畫樹狀圖或列表格的方法,求兩次都摸到紅球的概率.

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1t= min.

2)若乙提速后,乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍,

則甲登山的的上升速度是 m/min

請求出甲登山過程中,距地面的高度y(m)與登山時(shí)間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系式.

當(dāng)甲、乙兩人距地面高度差為70m時(shí),求x的值(直接寫出滿足條件的x值).

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A. CDF≌△EBC B. CDF=EAF

C. ECF是等邊三角形 D. CGAE

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(3)猜想(a,1)(-a,1)兩點(diǎn)的連線是否遵循上述規(guī)律.

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