Question

直線y=-x-3經(jīng)過點(diǎn)C（1，m），并與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x²+bx+c與x軸的負(fù)半軸交于D點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為直線MN，直線MN與x軸相交于點(diǎn)F，直線MN上有一動點(diǎn)P，過P作直線PE⊥AB，垂足為E，直線PE與x軸相交于點(diǎn)H
①當(dāng)P點(diǎn)在直線MN上移動時(shí)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使以A、P、H為頂點(diǎn)的三角形與△FBC相似？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
②若⊙I始終過A、P、E三點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在MN上運(yùn)動時(shí)，圓心I在______上運(yùn)動．（先作選擇，再說明理由）
A．一個(gè)圓　　 B．一個(gè)反比例函數(shù)圖象　　C．一條直線　　D．一條拋物線

Answer 1

解：（1）由直線y=-x-3知：A（-3，0）、B（0，-3）；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x-3=-4，即 C（1，-4）．
將B（0，-3）、C（1，-4）代入y=x²+bx+c中，得：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）①由點(diǎn)A（-3，0）、C（1，-4）得：AF=CF=4，即△AFC是等腰直角三角形，∠FCB=45°；
1、當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，∠AHP=∠FCB=90°-∠HAC=45°；
在Rt△FPH中，設(shè)FH=FP=x，則PH=x，AH=AF+FH=4+x；
由B（0，-3）、C（1，-4）知：BC=，CF=4；
若△APH∽△HBC，那么=，則有：=
解得：x=，即 P（1，-）；
2、當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如右圖；
∠AHP=∠FCB=90°-∠EAH=90°-∠FAC=45°；
設(shè)FP=x，則 FH=FP=x，AH=FH-AF=x-4，PH=x；
同1可得：=，有：=
解得：x=8，即 P（1，8）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-）或（1，8）．
②Rt△APE的外接圓圓心為斜邊AP的中點(diǎn)I，取AF的中點(diǎn)Q，那么IQ為△AFP的中位線，
∴IQ∥MN，即IQ∥y軸；
∵點(diǎn)Q（-1，0），∴無論點(diǎn)P如何運(yùn)動，點(diǎn)I始終在直線x=-1上．
故選C．
分析：（1）首先由直線AC的解析式求出點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．
（2）①點(diǎn)A、C的坐標(biāo)易知，那么容易判斷出∠ACF=45°，這也是方便解題的一個(gè)重要條件；從圖中不難看出∠AHP、∠ACF是同角（或等角）的余角，那么必有∠AHP=∠FCB=45°，首先用未知數(shù)設(shè)出PF的長，進(jìn)而由∠AHP的度數(shù)求出PH、AH的長，若△AHP、△FCB相似，通過得到的比例線段列式求出這個(gè)未知數(shù)的值，由此確定點(diǎn)P的坐標(biāo)（注意要分點(diǎn)P在x軸上方和下方兩種情況討論）；
②在Rt△APE中，它的外心I始終是AP的中點(diǎn)，若取AF的中點(diǎn)為Q，那么IQ為△APH的中位線，換句話說無論點(diǎn)P如何運(yùn)動，IQ始終與PH平行，即點(diǎn)I始終在一條平行于y軸的直線上，可根據(jù)這個(gè)思路來解答題目．
點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外接圓等相關(guān)知識點(diǎn)；（2）①較難，能夠應(yīng)用含有特殊度數(shù)的∠FCB是解答題目的關(guān)鍵．