如圖1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)H作直線l⊥AO于H,分別交直線AB、AC、BC于點(diǎn)N、E、M.
(1)當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)(如圖2),證明:BN=CD;
(2)當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),寫出CE和CD之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)請(qǐng)直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系.
分析:(1)連接ND,先由已知條件證明:DN=DC,再證明BN=DN即可;
(2)當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'.過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G,再證明△BNM≌△CGM問(wèn)題得證;
(3)BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí);②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí);③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí).
解答:(1)證明:連接ND.
∵AO平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵直線l⊥AO于H,
∴∠4=∠5=90°,
∴∠6=∠7,
∴AN=AC,
∴NH=CH,
∴AH是線段NC的中垂線,
∴DN=DC,
∴∠8=∠9.
∴∠AND=∠ACB,
∵∠AND=∠B+∠3,∠ACB=2∠B,
∴∠B=∠3,
∴BN=DN.
∴BN=DC;

(2)如圖,當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE.
證明:過(guò)點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'.
由(1)可得BN'=CD,AN'=AC,AN=AE.
∴∠4=∠3,NN'=CE.
過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G.
∴∠4=∠2,∠B=∠1.
∴∠2=∠3.
∴CG=CE.
∵M(jìn)是BC中點(diǎn),
∴BM=CM.
在△BNM和△CGM中,
∠B=∠1
BM=CM
∠NMB=∠GMC
,
∴△BNM≌△CGM.
∴BN=CG.
∴BN=CE.
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE.

(3)BN、CE、CD之間的等量關(guān)系:
當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí),CD=BN+CE;
當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),CD=BN-CE;
當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),CD=CE-BN.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理題目難度不小.
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已知:如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).以BD為直徑作圓O,交邊AB于點(diǎn)P,連接PC,交AD于點(diǎn)E.
(1)求證:AD是圓O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=90°時(shí),求證:
PE
CE
=
1
2
;
(3)如圖2,當(dāng)PC是圓O的切線,E為AD中點(diǎn),BC=8,求AD的長(zhǎng).精英家教網(wǎng)

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我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)寫出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;
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(3)如圖2,若點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EF與CD交于點(diǎn)H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個(gè)四邊形,不必證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)精英家教網(wǎng)明理由.

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DE
BD
.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O.
(1)求證:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)當(dāng)∠ABC=90°時(shí),且AO=3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

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