Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C，與一次函數(shù)y=x+a交于點(diǎn)A和點(diǎn)D．
（1）求出a、b、c的值；
（2）若直線(xiàn)AD上方的拋物線(xiàn)存在點(diǎn)E，可使得△EAD面積最大，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F為線(xiàn)段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F到（2）中的點(diǎn)E的距離與到y(tǒng)軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形可以看出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），分別代入一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式中，即可得出a、b、c的值；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則可得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m²+3m+4．過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)l，交x軸于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，m+1）．過(guò)點(diǎn)D作l的垂線(xiàn)，垂足為T(mén)；聯(lián)立直線(xiàn)方程和二次函數(shù)方程，即可得出D的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△AED=S_△AEH+S_△HED，得出含m的函數(shù)，利用a的取值范圍，可知，當(dāng)m=1時(shí)，即可得出最大值，從而可得出E的坐標(biāo)；
（3）過(guò)A作y軸的平行線(xiàn)AS，過(guò)F作FG⊥y軸交AS于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥x軸于N，結(jié)合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知當(dāng)N、F、E所在直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）a=1；b=3；c=4．（解題過(guò)程略）

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-m²+3m+4．過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)l，交x軸于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，m+1）．過(guò)點(diǎn)D作l的垂線(xiàn)，垂足為T(mén)．
將y=x+1與y=-x²+3x+4聯(lián)立組成方程組，解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）．
所以S_△AED=S_△AEH+S_△HED=

1

2

EH×AG+

1

2

EH×DT=

1

2

EH（AG+DT）=

1

2

（-m²+3m+4-m-1）×5=-

5

2

（m-1）²+10
∵a=

5

2

＜0，∴S_△AED有最大值．當(dāng)m=1時(shí)，最大值為10，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，10）．

（3）過(guò)A作y軸的平行線(xiàn)AS，過(guò)F作FG⊥y軸交AS于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥x軸于N，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）
∴∠DAB=45°∴AD平分∠SAB，∴FM=FN
∴d=FE+FM-1=FE+FN-1
顯然，當(dāng)N、F、E所在直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，d=FE+FN-1最小，最小值為6-1=5．
此時(shí)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，代入y=x+1得F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時(shí)要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．具有一定難度的二次函數(shù)題．