【題目】如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,連接AE,交BD于點(diǎn)G.
(1)根據(jù)給出的△AEC,作出它的外接圓⊙F,并標(biāo)出圓心F(不寫作法和證明,保留作圖痕跡);
(2)在(1)的條件下,連接EF.①求證:∠AEF=∠DBC;
②記t=GF2+AGGE,當(dāng)AB=6,BD=6時(shí),求t的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)①證明見解析②9≤t≤12
【解析】
(1)作EC的垂直平分線,其與BD的交點(diǎn)即為外心F;
(2)連接AF,EF,利用菱形的性質(zhì)及外心的定義可證明∠DBC=90°﹣∠ACB及∠AEF=90°﹣∠ACB,可推出結(jié)論;
(3)先證△ABG∽△FEG,再證△EFB∽△GFE,由相似三角形的性質(zhì)可推出t=GF2+AGGE=GF2+GFBG=GF(GF+BG)=GFBF=EF2,在菱形ABCD中,AC⊥BD,EF=AF≥AO,∴EF2≥AO2=32=9,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí),AF最大,求出此時(shí)t的最大值為12,即可寫出t的取值范圍.
解:(1)如圖1,⊙F為所求作的圓;
(2)①證明:
如圖2,連接AF,EF,
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠DBC=90°﹣∠ACB,
∵FA=FE,
∴∠AEF=∠FAE,
∴∠AEF=(180°﹣∠AFE)=90°﹣∠AFE,
又∠ACB=∠AFE,
∴∠AEF=90°﹣∠ACB,
又∵∠DBC=90°﹣∠ACB,
∴∠AEF=∠DBC;
②解:∵四邊形ABCD為菱形,
∴∠ABD=∠CBD,AO=CO,BO=DO=BD=×,
在Rt△ABO中,AO=,
又∵∠AGB=∠FGE,∠ABG=∠FEG,
∴△ABG∽△FEG,
,
∴AGGE=GFBG,
∵∠GEF=∠FBE,∠GFE=∠EFB,
∴△EFB∽△GFE,
∴,
∴GFBF=EF2,
∴t=GF2+AGGE=GF2+GFBG=GF(GF+BG)=GFBF=EF2,
在菱形ABCD中,AC⊥BD,EF=AF≥AO,
∴EF2≥AO2=32=9,
如圖3,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí),AF最大,
由題意可知:AF=BF,設(shè)AF=x,則OF=3
∵AO2+OF2=AF2,
∴32+(3﹣x)2=x2,
解得,x=2,
∴當(dāng)x=2時(shí),t的最大值為12,
∴9≤t≤12.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,是圓上一點(diǎn),弦于點(diǎn),且.過(guò)點(diǎn)作的切線,過(guò)點(diǎn)作的平行線,兩直線交于點(diǎn),的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)求證:與相切;
(2)連接,若的半徑為4,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】風(fēng)電已成為我國(guó)繼煤電、水電之后的第三大電源,風(fēng)電機(jī)組主要由塔桿和葉片組成(如圖1),圖2是從圖1引出的平面圖.假設(shè)你站在A處測(cè)得塔桿頂端C的仰角是55°,沿HA方向水平前進(jìn)43米到達(dá)山底G處,在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置,此時(shí)測(cè)得葉片的頂端D(D、C、H在同一直線上)的仰角是45°.已知葉片的長(zhǎng)度為35米(塔桿與葉片連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì)),山高BG為10米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔桿CH的高.(參考數(shù)據(jù):tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn),AE:ED=1:2,連接AC、BE交于點(diǎn)F.若S△AEF=1,則S四邊形CDEF=_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x的方程:2(x﹣k)=x﹣4①和關(guān)于x的一元二次方程:(k﹣1)x2+2mx+(3﹣k)+n=0②(k、m、n均為實(shí)數(shù)),方程①的解為非正數(shù).
(1)求k的取值范圍;
(2)如果方程②的解為負(fù)整數(shù),k﹣m=2,2k﹣n=6且k為整數(shù),求整數(shù)m的值;
(3)當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2,滿足(x1+x2)(x1﹣x2)+2m(x1﹣x2+m)=n+5,且k為正整數(shù),試判斷|m|≤2是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線L:y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),在y軸上有一點(diǎn)C(0,4),動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左移動(dòng).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求△COM的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)t為何值時(shí)△COM≌△AOB,請(qǐng)直接寫出此時(shí)t值和M點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中國(guó)漢字聽寫大會(huì)》 喚醒了很多人對(duì)文字基本功的重視和對(duì)漢字文化的學(xué)習(xí),某校組織了一次全校2000名學(xué)生參加的“漢字聽寫大會(huì)”海選比賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績(jī)均不低于50分,為了更好地了解本次海選比賽的成績(jī)分布情況,隨機(jī)抽取了其中200名學(xué)生的海選比賽成績(jī)(成績(jī)取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列統(tǒng)計(jì)圖表:
抽取的200名學(xué)生海選成績(jī)分組表
組別 | 海選成績(jī) |
A組 | |
B組 | |
C組 | |
D組 | |
E組 |
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問(wèn)題
(1)請(qǐng)把圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)在圖2的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示組扇形的圓心角的度數(shù)為_______度;
(3)規(guī)定海選成績(jī)?cè)?/span>90分以上(包括90分)記為“優(yōu)等”,請(qǐng)估計(jì)該校參加這次海選比賽的2000名學(xué)生中成績(jī)“優(yōu)等”的有多少人;
(4)經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),在組中,有2位男生和2位女生獲得了滿分,如果從這4人中挑選2人代表學(xué)校參加比賽,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出所選兩人正好是一男一女的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)共有3個(gè)一樣規(guī)模的大餐廳和2個(gè)一樣規(guī)模的小餐廳,經(jīng)過(guò)測(cè)試同時(shí)開放2個(gè)大餐廳和1個(gè)小餐廳,可供3000名學(xué)生就餐;同時(shí)開放1個(gè)大餐廳,1個(gè)小餐廳,可供1700名學(xué)生就餐.
(1)請(qǐng)問(wèn)1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐.
(2)如果3個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳全部開放,那么能否供全校4500名學(xué)生就餐?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在菱形中,分別為邊,,,上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合).對(duì)于任意菱形,下面四個(gè)結(jié)論中:①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形是平行四邊形;②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形是菱形;③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形是矩形;④存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形是正方形;所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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