Question

【題目】如圖，在中，，為邊的中點，為等邊三角形.

（1）求證：；

（2）若，在邊上找一點，使得最小，并求出這個最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）的最小值為3.

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得：，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：，從而得出，然后利用SAS即可證出：.

（2）作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，根據(jù)兩點之間線段最短，此時最小，為的長，則最小，為. 則點H即為所求，然后根據(jù)等邊三角形的判定可證出為等邊三角形，從而得出是直角三角形，最后根據(jù)勾股定理，即可求出的最小值.

（1）證明：在中，，為邊的中點，

∴.

∵為等邊三角形，

∴.

∴.

∴.

在△ADE和△CDB中

∴

（2）如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于點，

根據(jù)兩點之間線段最短，此時最小，為的長，

則最小，為. 則點H即為所求.

在中，，

∴，則.

∴∠∠EAC=60°

∴為等邊三角形

∴

∴是直角三角形

∴.

∴的最小值為3