Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+m的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（4，5），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且S△PAB＝10．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q使得△PAQ和△PBQ的面積相等？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）過A、P、C三點(diǎn)的圓與拋物線交于另一點(diǎn)D，求出D點(diǎn)坐標(biāo)及四邊形PACD的周長．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣2，5）或（﹣，﹣）；（3）6+4．

【解析】

（1）因?yàn)閽佄锞�y＝ax2﹣2ax+m，函數(shù)的對稱軸為：x＝1，S△PAB＝10＝×AB×yP＝AB×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A、B在點(diǎn)Q（Q′）的同側(cè)；點(diǎn)A、B在點(diǎn)Q的兩側(cè)兩種情況，分別求解即可；（3）過點(diǎn)P作PO′⊥x軸于點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′（4，0），則AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圓O′是過A、P、C三點(diǎn)的圓，即可求解．

解：

（1）y＝ax2﹣2ax+m，函數(shù)的對稱軸為：x＝1，

S△PAB＝10＝×AB×yP＝AB×5，解得：AB＝4，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0），

拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）①當(dāng)A、B在點(diǎn)Q（Q′）的同側(cè)時，如圖1，

△PAQ′和△PBQ′的面積相等，則點(diǎn)P、Q′關(guān)于對稱軸對稱，

故點(diǎn)Q′（﹣2，5）；

②當(dāng)A、B在點(diǎn)Q的兩側(cè)時，如圖1，

設(shè)PQ交x軸于點(diǎn)E，分別過點(diǎn)A、B作PQ的垂線交于點(diǎn)M、N，

△PAQ和△PBQ的面積相等，則AM＝BN，

而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，

∴△AME≌△BNE（AAS），

∴AE＝BE，

即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E（1，0），

將點(diǎn)P、E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線PQ的表達(dá)式為：y＝x﹣…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝﹣或4（舍去4），

故點(diǎn)Q（﹣，﹣），

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（﹣2，5）或（﹣，﹣）；

（3）過點(diǎn)P作PO′⊥x軸于點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′（4，0），則AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，

故圓O′是過A、P、C三點(diǎn)的圓，

設(shè)點(diǎn)D（m，m2﹣2m﹣3），點(diǎn)O′（4，0），則DO′＝5，

即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，

化簡得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，

解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），

故：m＝1，

故點(diǎn)D（1，﹣4）；

四邊形PACD的周長＝PA+AC+CD+PD＝．