Question

【題目】（1）嘗試探究

如圖①，在中，，，點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且．

①的值為________；

②直線與直線的位置關(guān)系為________；

（2）類比延伸

如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展運(yùn)用

若，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），，見解析；（3）或

【解析】

（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求得的值；②根據(jù)可得；（2）和分別在和中，利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等”證得兩個(gè)三角形相似，即可求得的值，進(jìn)而通過等角的代換即可證得；（3）分點(diǎn)在之間和點(diǎn)在之間兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．

解：（1）①；

②；

[解法提示]∵在中，，，，∴，

∴，

∴，

∴，

∵點(diǎn)分別是邊，上的點(diǎn)，，

∴，∴．

（2）；；

理由如下：由（1）及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，

．

在中，，

在中，，

∴，

又∵，

，

∴，

∴，

∴．

如圖①，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

圖①

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，即；

（3）或．

[解法提示]①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，由（2）可得，

圖②

∴．

設(shè)，則，

∵點(diǎn)在一條直線上，

∴，

∵，∴，

在中，，

∴，

解得或（舍去），

∴；

②如圖③，當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，同理可得，，

圖③

∵，

∴，

在中，，

解得或（舍去），

∴．

綜上所述，的長(zhǎng)為或．