【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如圖1,若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為F,求證:△ADF∽△ABC;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2;
(3)如圖3,若α=45°,點(diǎn)E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為F,

∴∠EAF=∠DAE,AD=AF,

又∵∠BAC=2∠DAE,

∴∠BAC=∠DAF,

∵AB=AC,

,

∴△ADF∽△ABC


(2)

解:∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為F,

∴EF=DE,AF=AD,

∵α=45°,

∴∠BAD=90°﹣∠CAD,

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中, ,

∴△ABD≌△ACF(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,

在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,

所以,DE2=BD2+CE2


(3)

解:DE2=BD2+CE2還能成立.

理由如下:作點(diǎn)D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)F,連接EF、CF,

由軸對稱的性質(zhì)得,EF=DE,AF=AD,

∵α=45°,

∴∠BAD=90°﹣∠CAD,

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAF,

在△ABD和△ACF中,

∴△ABD≌△ACF(SAS),

∴CF=BD,∠ACF=∠B,

∵AB=AC,∠BAC=2α,α=45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠ACB=45°,

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,

在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,

所以,DE2=BD2+CE2


【解析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE,AD=AF,再求出∠BAC=∠DAF,然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例,夾角相等兩三角形相似證明;
   。2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BD,全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可;
   。3)作點(diǎn)D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)F,連接EF、CF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BD,全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可.本題是相似形綜合題,主要利用了軸對稱的性質(zhì),相似三角形的判定,同角的余角相等的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,此類題目,小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的應(yīng)用(測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在一個鈍角三角形中,如果一個角是另一個角的3倍,這樣的三角形我們稱之為智慧三角形.如,三個內(nèi)角分別為120°,40°,20°的三角形是智慧三角形”.如圖,∠MON=60°,在射線OM上找一點(diǎn)A,過點(diǎn)AABOMON于點(diǎn)B,以A為端點(diǎn)作射線AD,交射線OB于點(diǎn)C.

(1)ABO的度數(shù)為_____°,AOB_____(填不是”) “智慧三角形”;

(2)若∠OAC=20°,求證:△AOC智慧三角形”;

(3)當(dāng)△ABC智慧三角形時,求∠OAC的度數(shù).

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(1)如圖一,若點(diǎn)M在線段AB上,求證:AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如圖二,在點(diǎn)P運(yùn)動過程中,滿足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延長線上時,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需說明理由)
②是否存在滿足條件的點(diǎn)P,使得PC= ?請說明理由.

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【題目】某次籃球聯(lián)賽初賽階段,每隊(duì)場比賽,每場比賽都要分出勝負(fù),每隊(duì)勝一場分, 負(fù)一場得分,積分超過分才能獲得參賽資格.

(1)已知甲隊(duì)在初賽階段的積分為分,甲隊(duì)初賽階段勝、負(fù)各多少場;

(2)如果乙隊(duì)要獲得參加決賽資格,那么乙隊(duì)在初賽階段至少要勝多少場?

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(1)求去年該農(nóng)家樂餐飲和住宿的利潤各為多少萬元?

(2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤全部用于繼續(xù)投資,增設(shè)了土特產(chǎn)的實(shí)體店銷售和網(wǎng)上銷售項(xiàng)目.他在接受記者采訪時說:我預(yù)計(jì)今年餐飲和住宿的利潤比去年會有10%的增長,加上土特產(chǎn)銷售的利潤,到年底除收回所有投資外,還將獲得不少于10萬元的純利潤.請問今年土特產(chǎn)銷售至少有多少萬元的利潤?

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(1)求1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元?

(2)學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車共8輛,送330名師生集體外出活動,最節(jié)省的租車費(fèi)用是多少?

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(1)判斷BC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)求證:△ABD∽△DBE;
(3)若cosB= ,AE=4,求CD.

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