Question

提出問題：爸爸出差回家?guī)Я艘粋�分布均勻的等腰三角形蛋糕禮物給兒子（如圖1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，雙胞胎兒子大毛和小毛決定只切一刀將這塊蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力質(zhì)量都一樣）．

背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的“等分積周線”．
嘗試解決：
（1）大毛很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出．請你幫大毛在圖1中作出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．
（2）小毛覺得大毛的方法很好，所以自己模仿著在蛋糕上過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小毛會成功嗎？如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．（用圖2說明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如圖3，你能找出幾條△ABC的“等分積周線”，請分別畫出，并簡要說明確定的方法．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作線段AC的中垂線BD即可．
（2）小毛不會成功．直線CD可能平分△ABC的面積，若也平分周長，則AC=BC，與題中的AC≠BC沖突，故不會成功；
（3）①若直線經(jīng)過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．
②若直線不過頂點，可分以下三種情況考慮：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直線與AB、AC分別交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直線與AB、BC分別交于P、Q，此種情況不存在．則符合條件的直線共有三條．

解答：解：（1）作線段AC的中垂線BD即可．

（2）小毛不會成功．
若直線CD平分△ABC的面積，那么S_△ADC=S_△DBC．
如圖2，過點C作CE⊥AB，垂足為E．
則 

1

2

AD•CE=

1

2

BD•CE
則BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC
∴小毛不會成功．

（3）分類討論：
①如圖3，若分割直線經(jīng)過△ABC頂點，由（1）（2）可知，只有過等腰三角形的頂角頂點的直線是才可能為“等分積周線”，
即底AC邊上的中垂線BD為此時△ABC的“等分積周線”．
②若分割直線不經(jīng)過△ABC頂點，則分割直線將ABC分割為一個三角形和一個四邊形．可分以下三種情況：
（a）直線EF與BC、AC分別交于E、F，如圖4所示．

若直線EF平分三角形的周長16，則CF與CE的和是8．
設CF=x，則CE=8-x．CB=5，CG=3，BG=

52-32

=4，
∵EH∥BG，
∴△CEH∽△CBG，
∴

EH

BG

=

EC

BC

，
∴

EH

4

=

8-x

5

，
EH=

4

5

(8-x)，
若分割的兩部分面積相等，則
S_△CEF=6，
即

1

2

•x•

4

5

(8-x)=6，
解得x=3（舍去，即為①）或x=5，
∴當CF=5，CE=3時，直線EF即為所求△ABC的一條“等分積周線”．
（b）若直線E₁F₁與AB、AC分別交于E₁、F₁，如圖5所示．

由a同理可得，當A E₁=3，A F₁=5，直線E₁F₁即為所求△ABC的一條“等分積周線”．
（c）若直線PQ與AB、BC分別交于P、Q，如圖6所示．

設BQ=x，則BP=8-x．
∵AG×5=4×6，
∴AG=

24

5

，
∵PH∥AG，
∴△PHB∽△AGB，
∴

PH

AG

=

BP

AB

，
∴

PH

24 5

=

8-x

5

，
PH=

24

25

(8-x)
若分割的兩部分面積相等，則
S_△PBQ=6，
即

1

2

•x•

24

25

(8-x)=6，
整理可得出：2x ²-16x+25=0，
解得：x₁=

8+ 14

2

＞5（舍去），x₂=

8- 14

2

，
而當BQ=

8- 14

2

時，BP=

8+ 14

2

＞5，應舍去．
故此種情況不存在．
綜上所述，符合條件的直線共有三條，直線BD、直線EF、直線E₁F₁．

點評：此題主要考查了相似三角形的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識，運用分類討論的數(shù)學思想得出是解題關(guān)鍵．