【題目】拋物線過A(2,3),B(4,3),C(6,﹣5)三點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖①,拋物線上一點D在線段AC的上方,DE⊥AB交AC于點E,若滿足,求點D的坐標(biāo);
(3)如圖②,F為拋物線頂點,過A作直線l⊥AB,若點P在直線l上運動,點Q在x軸上運動,是否存在這樣的點P、Q,使得以B、P、Q為頂點的三角形與△ABF相似,若存在,求P、Q的坐標(biāo),并求此時△BPQ的面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)D(,);(3)P(2,﹣2),Q(﹣3,0),S△BPQ=或P(2,2),Q(3,0),S△BPQ=或P(2,﹣5),Q(﹣1,0),S△BPQ=17或P(2,﹣1),Q(5,0),S△BPQ=5.
【解析】試題分析:(1)由對稱性和A(2,3),B(4,3),可知拋物線的對稱軸是:x=3,利用頂點式列方程組解出可得拋物線的表達式;
(2)如圖1,先利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式,設(shè)點D(m,﹣m+6m﹣5),則點E(m,﹣2m+7),根據(jù)解析式表示DE和AE的長,由已知的比例式列式得結(jié)論;
(3)根據(jù)題意得:△BPQ為等腰直角三角形,分三種情況:
①若∠BPQ=90°,BP=PQ,如圖2,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△BAP≌△QMP,可得結(jié)論;如圖3,同理可得結(jié)論;
②若∠BQP=90°,BQ=PQ,如圖4,證得:△BNQ≌△QMP,則NQ=PM=3,NG=1,BN=5,從而得出結(jié)論;如圖5,同理易得△QNB≌△PMQ,可得結(jié)論;
③若∠PBQ=90°,BQ=BP,如圖6,由于AB=2≠NQ=3,此時不存在符合條件的P、Q.
試題解析:解:(1)根據(jù)題意,設(shè)拋物線表達式為y=a(x﹣3)2+h.
把B(4,3),C(6,﹣5)代入得:,解得:,故拋物線的表達式為:y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5,即:;
(2)設(shè)直線AC的表達式為y=kx+n,則:,解得:k=﹣2,n=7,∴直線AC的表達式為y=﹣2x+7,設(shè)點D(m,﹣m2+6m﹣5),2<m<6,則點E(m,﹣2m+7),∴DE=(﹣m2+6m﹣5)﹣(﹣2m+7)=﹣m2+8m﹣12,設(shè)直線DE與直線AB交于點G,∵AG⊥EG,∴AG=m﹣2,EG=3﹣(﹣2m+7)=2(m﹣2),m﹣2>0,在Rt△AEG中,∴AE=(m﹣2),由,得=,化簡得,2m2﹣11m+14=0,解得:m1=,m2=2(舍去),則D(,).
(3)根據(jù)題意得:△ABF為等腰直角三角形,假設(shè)存在滿足條件的點P、Q,則△BPQ為等腰直角三角形,分三種情況:
①若∠BPQ=90°,BP=PQ,如圖2,過P作MN∥x軸,過Q作QM⊥MN于M,過B作BN⊥MN于N,易證得:△BAP≌△QMP,∴AB=QM=2,PM=AP=3+2=5,∴P(2,﹣2),Q(﹣3,0),在Rt△QMP中,PM=5,QM=2,由勾股定理得:PQ==,∴S△BPQ=PQPB=;
如圖3,易證得:△BAP≌△PMQ,∴AB=PM=2,AP=MQ=3﹣2=1,∴P(2,2),Q(3,0),在Rt△QMP中,PM=2,QM=1,由勾股定理得:PQ=,∴S△BPQ=PQPB=;
②若∠BQP=90°,BQ=PQ,如圖4,易得:△BNQ≌△QMP,∴NQ=PM=3,NG=PM﹣AG=3﹣2=1,∴BN=MQ=4+1=5,∴P(2,﹣5),Q(﹣1,0),∴PQ==,∴S△BPQ=PQPB==17;
如圖5,易得△QNB≌△PMQ,∴NQ=PM=3,∴P(2,﹣1),Q(5,0),∴PQ=,∴S△BPQ=PQPB= =5;
③若∠PBQ=90°,BQ=BP,如圖6,過Q作QN⊥AB,交AB的延長線于N,易得:△PAB≌△BNQ,∵AB=2,NQ=3,AB≠NQ,∴此時不存在符合條件的P、Q.
綜上所述:P(2,﹣2),Q(﹣3,0),S△BPQ=或P(2,2),Q(3,0),S△BPQ=或P(2,﹣5),Q(﹣1,0),S△BPQ=17或P(2,﹣1),Q(5,0),S△BPQ=5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是等邊△ABC內(nèi)一點,∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD,得△AOD,若△AOD為等腰三角形,則α=________
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,格點△ABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為(﹣4,5)、(﹣1,3).
(1)請在圖中正確作出平面直角坐標(biāo)系;
(2)請作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′;
(3)點B′的坐標(biāo)為 ,△A′B′C′的面積為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A()和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點P作PC⊥x軸于點D,交拋物線于點C.
(1)B點坐標(biāo)為 ,并求拋物線的解析式;
(2)求線段PC長的最大值;
(3)若△PAC為直角三角形,直接寫出此時點P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點O,則tan∠AOD=________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正方形網(wǎng)格上有6個三角形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.其中②~⑥中與①相似的是( )
A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD中,對角線AC、BD交于O,Q為CD上任意一點,AQ交BD于M,過M作MN⊥AM交BC于N,連AN、QN.下列結(jié)論:①MA=MN;②∠AQD=∠AQN; ③S△AQN=S五邊形ABNQD;④QN是以A為圓心,以AB為半徑的圓的切線.其中正確的結(jié)論有( 。
A. ①②③④ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①②
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】郵政部門規(guī)定:信函重100克以內(nèi)(包括100克)每20克貼郵票0.8元,不足20克重以20克計算;超過100克,先貼郵票4元,超過100克部分每100克加貼郵票2元,不足100克重以100克計算.八(9)班有11位同學(xué)參加項目化學(xué)習(xí)知識競賽,若每份答卷重12克,每個信封重4克,將這11份答卷分裝在兩個信封中寄出,所貼郵票的總金額最少是_________元.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,每個小方格的邊長都為1,△各頂點都在格點上.若點的坐標(biāo)為(0,3),請按要求解答下列問題:
(1)在圖中建立符合條件的平面直角坐標(biāo)系;
(2)根據(jù)所建立的坐標(biāo)系,寫出點和點的坐標(biāo);
(3)畫出△關(guān)于軸的對稱圖形△.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com