Question

【題目】(如圖1，等邊△ABC中，D是AB邊上的點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．

（1）求證:△DBC≌△EAC；

（2）求證:AE∥BC；

（3）如圖2, 若D在邊BA的延長線上,且AB=6,AD=2,試求△ABC與△EAC面積的比值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）.

【解析】

（1）已知的條件有AC=BC，CE=CD，我們發(fā)現(xiàn)∠BCD和∠ACE都是60°減去一個∠ACD，因此兩三角形全等的條件就都湊齊了（SAS）；
（2）要證AE∥BC，關鍵是證∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么關鍵是證∠EAC=∠ACB，根據(jù)（1）的全等三角形，我們不難得出這兩個角相等，也就得出了證平行的條件．

（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過先證明△BCD和△ACE全等，即可得到△ABC與△EAC面積的比值.

(1)證明：∵∠ACB=60°,∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°∠ACD,∠ACE=60°∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC(SAS)，

(2)∵△DBC≌△EAC,

∴∠EAC=∠B=60°,

又∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC；

（3）結論：AE∥BC，

理由：∵△ABC、△EDC為等邊三角形，

∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°，

∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC(SAS)，

∴∠EAC=∠B=60°,AE=BD

又∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC；

設AE,BC兩平行線間的距離為h

∵AB=6,AD=2,

∴S△ABC=BCh=×6h=3h,

S△ACE=AEh=×8h=4h

∴S△ABC∶S△AEC=

則△ABC與△EAC面積的比值為.