Question

如圖① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90^ｏ，AD⊥BC，垂足為D.

（1）S_△ABD =     .(直接寫出結果)

（2）如圖②，將△ABD繞點D按順時針方向旋轉得到△A′B′D，設旋轉角為 ()，在旋轉過程中：

探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉而變化？說明理由

探究二：當的度數為多少時，四邊形APDQ是正方形？說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）4，（2）①不會；②=45^ｏ

【解析】

試題分析：（1）根據S_△ABD= S_{△AB C}結合三角形的面積公式進行解答即可；

（2）①四邊形APDQ的面積不會隨旋轉而變化，因為無論旋轉角為 ()怎樣旋轉，始終是△BPD≌△AQD，即四邊形APDQ的面積等于S_△ABD；

②證得四邊形APDQ為矩形，又因為DP=AP=AB，即可得出結論.

（1）S_△ABD=  S_△ABC= =4

（2）① 四邊形APDQ的面積不會隨旋轉而變化.

理由如下：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90^ｏ

∠B=∠C=45^ｏ

∵AD⊥BC

∴∠BAD=∠DAC=45^ｏ

∴∠B="∠DAQ=∠BAD" =45^ｏ，BD=AD

又∵∠BDP+∠ADP=90^ｏ，∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90^ｏ

∴∠BDP="∠ADQ"

∴△BPD≌△AQD

S_{四邊形APDQ}= S_△APD+ S_△AQD= S_△APD+ S_△BPD= S_△ABD =4

② 當=45^ｏ時，四邊形ＡPDQ是正方形.

理由如下：

由（1）知△ABD為等腰直角三角形.

當=45^ｏ時，DP⊥AB，即∠APD=90^ｏ

又∵∠A=90^ｏ，∠PDQ=90^ｏ

∴四邊形APDQ為矩形

又∵DP=AP=AB

∴四邊形APDQ是正方形.

考點：旋轉的性質，三角形的面積公式，正方形的判定和性質

點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn).