Question

命題：已知如圖所示，正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是AC上一點(diǎn)，AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF．
（1）證明上述命題．



（2）對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，如圖所示，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠AFO+∠CAF=90°，∠AEB+∠CAF=90°，
∴∠AFO=∠AEB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF；

（2）OE=OF．
證明：∵∠GBF+∠F=90°，∠OBE+∠E=90°，∠GBF=∠DBE（對(duì)頂角相等），
∴∠E=∠F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．