21、命題:已知如圖所示,正方形ABCD的對角線的交點為O,E是AC上一點,AG⊥EB,垂足為G,AG交BD于F,則OE=OF.
(1)證明上述命題.

(2)對上述命題,若點E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于點G,AG的延長線交DB的延長線于點F,
其他條件不變,如圖所示,則結論“OE=OF”還成立嗎?若成立,請你證明,若不成立,請說明理由.
分析:(1)證OE=OF,關鍵是證明三角形AOF和BOE全等.已知的條件有一組直角,OA=OE(正方形的對角線相等,且互相垂直平分)只要再證得一組對應角相等即可得出三角形全等的結論,我們發(fā)現(xiàn)∠AFO和∠AEC都是∠CAE的余角,因此這兩個角相等,就構成了兩個三角形全等的條件,由此可得出兩三角形全等,進而得出OE=OF.
(2)還相等,證法和(1)相同也是證三角形AOF和BOE全等.
解答:解:(1)證明:∵∠AFO+∠CAE=90°,∠AEC+∠CAE=90°,
∴∠AFO=∠AEC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AO=OB,
又∵∠AOB=∠BOE=90°,
∴△AOF≌△BOE,
∴OE=OF;

(2)OE=OF.
證明:∵∠GBF+∠F=90°,∠OBE+∠E=90°,
∴∠E=∠F,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AO=OB,
又∵∠AOB=∠BOE=90°,
∴△AOF≌△BOE,
∴OE=OF.
點評:本題主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定,通過全等三角形來證線段相等是解此類題的基本方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則以下三個命題:(1)a3-ab2<0,(2)
(a+b)2
=a+b
,(3)
1
a-b
1
a
,其中真命題的序號為
 

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

23、如圖所示,在△ABE和△ACD中,給出以下4個論斷:
(1)AB=AC;
(2)AD=AE;
(3)AM=AN;
(4)AD⊥DC,AE⊥BE,
以其中3個論斷為題設,填入下面的“已知”欄中,1個論斷為結論,填入下面的“求證”欄中,使之組成一個真命題,并寫出證明過程.
已知:
(1)(2)(4)
;
求證:
(3)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

命題:已知如圖所示,正方形ABCD的對角線的交點為O,E是AC上一點,AG⊥EB,垂足為G,AG交BD于F,則OE=OF.
(1)證明上述命題.

(2)對上述命題,若點E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于點G,AG的延長線交DB的延長線于點F,其他條件不變,如圖所示,則結論“OE=OF”還成立嗎?若成立,請你證明,若不成立,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

命題:已知如圖所示,正方形ABCD的對角線的交點為O,E是AC上一點,AG⊥EB,垂足為G,AG交BD于F,則OE=OF.
(1)證明上述命題.

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(2)對上述命題,若點E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于點G,AG的延長線交DB的延長線于點F,其他條件不變,如圖所示,則結論“OE=OF”還成立嗎?若成立,請你證明,若不成立,請說明理由.

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