Question

如圖，拋物線與y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)分別為B、A，y₁與y軸的交點(diǎn)為C．若由A，B，C組成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a與m滿足的關(guān)系式；
（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)Q、M分別在y₁和y₂上，N、P在x軸上，構(gòu)成矩形MNPQ，當(dāng)a為1時(shí)，請(qǐng)問(wèn)：
①Q(mào)點(diǎn)坐標(biāo)是多少時(shí)，矩形MNPQ的周長(zhǎng)最短？
②若E為MQ與y軸的交點(diǎn)，是否存在這樣的矩形，使得△CEQ與△QPB相似？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）y₁=a（x-m）²頂點(diǎn)B（m，0），
y₂=a（x+m） ²頂點(diǎn)A（-m，0），
交y軸于C（0，am ²），
∵tan∠ABC=2，
∴=2，
即=2，
∴am=2；

（2）①當(dāng)a=1時(shí)，m=2，
所以，y₁=（x-2） ²，
令Q（x，（x-2） ²），
則矩形MNPQ的周長(zhǎng)：L=2×2x+2（x-2） ²=2x ²-4x+8=2（x-1） ²+6，
所以，當(dāng)x=1時(shí)，周長(zhǎng)的最短為6，
此時(shí)Q（1，1）；

②存在點(diǎn)Q₁（3，1），Q₂（3-，3-2），Q₃（3+，3+2）使得△CEQ與△QPB相似．
理由如下：∵當(dāng)a=1時(shí)，m=2，
∴am²=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），
又∵Q（x，（x-2） ²），
∴CE=|4-（x-2） ²|=|x²-4x|，QE=x，
PQ=（x-2） ²，PB=|2-x|，
（i）當(dāng)CE和PQ是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△CEQ與△QPB相似，
∴=，
即=，
整理得，|x-4|=|x-2|，
所以，x-4=-（x-2），
解得x=3，
此時(shí)（x-2） ²=（3-2） ²=1，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，1），
（ii）CE與PB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△CEQ與△QPB相似，
∴=，
即=，
整理得，|x-4|×|x-2|=1，
所以，（x-4）（x-2）=1或（x-4）（x-2）=-1，
x²-6x+7=0或x²-6x+9=0，
解得x₁=3-，x₂=3+，x₃=3，
當(dāng)x₁=3-時(shí)，（x-2） ²=（3--2） ²=3-2，
當(dāng)x₂=3+時(shí)，（x-2） ²=（3+-2） ²=3+2，
綜上所述，存在點(diǎn)Q₁（3，1），Q₂（3-，3-2），Q₃（3+，3+2）使得△CEQ與△QPB相似．
分析：（1）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)軸對(duì)稱性求出y₂的解析式，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)tan∠ABC=2列式整理即可得解；
（2）①先根據(jù)a=1求出m的值，得到兩拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線y₁的解析式設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及矩形的周長(zhǎng)公式列式整理得到矩形MNPQ的周長(zhǎng)表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
②根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別表示出CE、QE，PQ、PB，然后分（i）CE和PQ是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（ii）CE與PB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱性與矩形的對(duì)稱性以及矩形的周長(zhǎng)公式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，要注意根據(jù)對(duì)應(yīng)邊不同分情況討論．