Question

【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（l）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖l，若點(diǎn)為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在軸上是否存在一點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）存在符合條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或，或或

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式即可得到答案；

（2）設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用求出解析式即得到面積的最大值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）存在，分以點(diǎn)C、A為頂點(diǎn)及線段AC為底邊三種情況，分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可.

解：（1）由題知：

，解得：

∴所求拋物線表達(dá)式為

（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

設(shè)

∴，，，

∴

∴當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為.

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為

（3）連接

①當(dāng)點(diǎn)為頂點(diǎn)，時(shí)，此時(shí)為底邊的垂直平分線，

滿足條件的點(diǎn)，與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為

②當(dāng)點(diǎn)為頂點(diǎn)，時(shí)，在中，

∵，，由勾股定理得：，

以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交軸于兩點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)，

此時(shí)它們的坐標(biāo)分別為，

③當(dāng)為底邊時(shí)，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，即為滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)垂直的垂直平分線交軸于點(diǎn)，過中點(diǎn)，

∵，

∴

∴

∴，，

，，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述存在符合條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或，或或