【題目】如圖,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A. 點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),沿三角形的邊運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)M的速度為1cm/s,點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí),M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)_________秒后,△AMN是等邊三角形?
(2)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)_______秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN?
(3)M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)幾秒后,△AMN是直角三角形?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)4;(2)16;(3)M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)3,,15,18秒后,△AMN是直角三角形,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后,可得到等邊三角形△AMN,然后表示出AM,AN的長(zhǎng),由于∠A等于60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形;
(2)由△AMN是等腰三角形,可證出△ACM≌△ABN,可得CM=BN,設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間,表示出CM,NB,NM的長(zhǎng),列出方程,可解出未知數(shù)的值;
(3)分點(diǎn)N在AB,AC,BC上運(yùn)動(dòng)的三種情況,再分別就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得.
解:(1)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后,可得到等邊三角形△AMN,如圖1,
AM=t,AN=12-2t,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等邊三角形,
∴∠A=60°,
當(dāng)AM=AN時(shí),△AMN是等邊三角形
∴t=12-2t,
解得t=4,
∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后,△AMN是等邊三角形;
(2)設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)t秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN,
由題意知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合,恰好在C處,
如圖2,假設(shè)△AMN是等腰三角形,
∴AM=AN,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB,
∵AB=BC=AC,
∴△ACB是等邊三角形,
∴∠C=∠B,
在△ACM和△ABN中,
∵∠AMC =∠ANB,∠C=∠B,AC=AB
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM=BN,
∴t-12=36-2t,
解得t=16,符合題意.
所以點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)16秒后能得到以MN為底的等腰三角形;
(3)①當(dāng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖3,
若∠AMN=90°,∵BN=2t,AM=t,
∴AN=12-2t,
∵∠A=60°,
∴2AM=AN,即2t=12-2t,
解得t=3;
如圖4,若∠ANM=90°,
由2AN=AM得2(12-2t)=t,
解得t=;
②當(dāng)點(diǎn)N在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)M也在AC上,此時(shí)A,M,N不能構(gòu)成三角形;
③當(dāng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖5,
當(dāng)點(diǎn)N位于BC中點(diǎn)處時(shí),由△ABC時(shí)等邊三角形知AN⊥BC,即△AMN是直角三角形,
則2t-24=6,
解得t=15;
如圖6,
當(dāng)點(diǎn)M位于BC中點(diǎn)處時(shí),由△ABC時(shí)等邊三角形知AM⊥BC,即△AMN是直角三角形,
則t-12=6
解得t=18;
綜上, M、N同時(shí)運(yùn)動(dòng)3,,15,18秒后,△AMN是直角三角形;
故答案為:3,,15,18.
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【題目】如圖,有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤A、B,轉(zhuǎn)盤A被均勻地分成4等份,每份分別標(biāo)上1、2、3、4四個(gè)數(shù)字;轉(zhuǎn)盤B被均勻地分成6等份,每份分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字。有人為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲,其規(guī)則如下:
同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A與B轉(zhuǎn)盤停止后,指針各指向一個(gè)數(shù)字(如果指針恰好指在分格線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針停留在某一數(shù)字為止),用所指的兩個(gè)數(shù)字作乘積,如果得到的積是偶數(shù),那么甲勝;如果得到的積是奇數(shù),那么乙勝(如轉(zhuǎn)盤A指針指向3,轉(zhuǎn)盤B指針指向5,3×5=15,按規(guī)則乙勝)。你認(rèn)為這樣的規(guī)則是否公平?請(qǐng)說明理由;如果不公平,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)公平的規(guī)則,并說明理由。
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若,如圖所示:
①求證:;
②若,求的度數(shù).
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A.64B.32C.16D.8
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